Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, onde
e
é a superfície do cubo,
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície da função vetorial
sobre a superfície do cubo definido por
,
e
. Pra isso, vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência e como aplicá-lo em um cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada com a integral tripla da divergência desse campo dentro do volume limitado por essa superfície. Em termos simples:
Aqui,
é a divergência de
, que mede o quanto o campo está “divergindo” ou “convergindo” em cada ponto do espaço.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. Se
, então:
Aplicando isso à nossa
:
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume do cubo. Como o cubo vai de 0 a 1 em todas as direções, os limites de integração são:
Então, a integral fica:
Como a função não depende de
, a integração em
será simples:
Agora, vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral de superfície
sobre o cubo dado é igual a 1.