Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície integralS integral F cdot d S, onde F(x, y, z)=(3 y^2 z^3, 9 x^2 y z^2,-4 x y^2) e S é a superfície do cubo, 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície da função vetorial F(x, y, z)=(3 y^2 z^3, 9 x^2 y z^2, -4 x y^2) sobre a superfície do cubo definido por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1. Pra isso, vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência e como aplicá-lo em um cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada com a integral tripla da divergência desse campo dentro do volume limitado por essa superfície. Em termos simples:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F dV
Aqui, nabla cdot F é a divergência de F, que mede o quanto o campo está “divergindo” ou “convergindo” em cada ponto do espaço.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. Se F = (Fx, Fy, Fz), então:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Aplicando isso à nossa F:
Fx = 3 y^2 z^3 Fy = 9 x^2 y z^2 Fz = -4 x y^2
Então:
partial Fxpartial x = 0 partial Fypartial y = 9 x^2 z^2 partial Fzpartial z = 0
Portanto:
nabla cdot F = 0 + 9 x^2 z^2 + 0 = 9 x^2 z^2

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume do cubo. Como o cubo vai de 0 a 1 em todas as direções, os limites de integração são:
x: 0 a 1 y: 0 a 1 z: 0 a 1
Então, a integral fica:
integral triplaV 9 x^2 z^2 dV = 9 integral0^1 integral0^1 integral0^1 x^2 z^2 dx dy dz
Como a função não depende de y, a integração em y será simples:
9 integral0^1 integral0^1 x^2 z^2 dx dz times integral0^1 dy = 9 integral0^1 integral0^1 x^2 z^2 dx dz times 1
Agora, vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a x:
integral0^1 x^2 dz = [ x^33 ]0^1 = 13
Então, a integral fica:
9 times integral0^1 z^23 dz = 3 integral0^1 z^2 dz = 3 [ z^33 ]0^1 = 3 times 13 = 1

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot dS sobre o cubo dado é igual a 1.

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