Determine f^prime(0), caso exista para f(x)=ccx^3 sen(1x), & x neq 0 0, & x=0

Passo 1

O enunciado define
f(x)=x^3,sin!(tfrac1x),&xneq0,[6pt]0,&x=0,
e pede f'(0), ou seja, a derivada de f em 0. Vamos usar a definição de derivada em um ponto:
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0 ]

Passo 2

Para xneq0 temos
f(x)-f(0)x=x^3,sen!l(tfrac1xr)-0x =x^2,sen!l(tfrac1xr)
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f'(0)=limxto0x^2,sen!l(tfrac1xr)

Passo 3

Usando o Teorema do Confronto, como -1<=sen!l(tfrac1xr)<=1 segue
-|x^2|<= x^2,sen!l(tfrac1xr)<=|x^2|
Como limxto0|x^2|=0, pela convergência pelo confronto concluímos
limxto0x^2,sen!l(tfrac1xr)=0

Resposta

f'(0)=0

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