Calcule integral de superfície vetorial
do campo vetorial
, na superfície de revolução
, que pode ser parametrizado por
com vetor normal apontando para baixo da superfície
Passo 1
O enunciado pede a integral de fluxo
do campo
sobre a superfície parametrizada por
, com
,
e vetor normal apontando para baixo. Vamos usar o procedimento de parametrização de superfície e fluxo.
Passo 2
Para achar o vetor área orientado, calculamos as derivadas parciais:
e
.
O produto vetorial é
O produto vetorial é
Passo 3
Como queremos o normal apontando para baixo (com componente negativa em
), tomamos
Passo 4
Agora avaliamos
na parametrização:
Passo 5
O produto escalar fica
Passo 6
Montamos a integral dupla
Passo 7
Separando em
e
:
Passo 8
Para
, note que
logo
$$I_1=\frac{2}{3{1/3}}\int_01\frac12u2\Bigl[(u3+23){4/3}-(u3){4/3}\Bigr]du
=\frac{1}{3{1/3}}\Bigl[\int_01u2(u3+8){4/3}du-\int_01u^6du\Bigr].$$
Passo 9
Fazendo
em
obtemos
Passo 10
Logo
Passo 11
Para
, integremos em
:
de modo que
$$I_2=\frac34\int_01[(u+2){4/3}-u^{4/3}]du
=\frac{9}{28}\bigl[3{7/3}-2{7/3}-1\bigr].$$
Passo 12
Subtraindo, obtemos o fluxo buscado.
Resposta
\displaystyle\iint_{S_{20}}F\cdot n,dA=\frac{1}{7,3{1/3}}\bigl[9{7/3}-8^{7/3}-1\bigr];-
;\frac{9}{28}\bigl[3{7/3}-2{7/3}-1\bigr].
;\frac{9}{28}\bigl[3{7/3}-2{7/3}-1\bigr].