Calcule integral de superfície vetorial integral dupla20 F cdot n d A do campo vetorial F(x, y, z)=(y^2 raiz[3]z, x^2 raiz[3]z, raiz[3]x+y), na superfície de revolução S20, que pode ser parametrizado por psi(u, v)=(u, v, u^3+v^33), u in[0,1], v in[0,2] com vetor normal apontando para baixo da superfície

Passo 1

O enunciado pede a integral de fluxo integral duplaS20Fcdot n,dA do campo F(x,y,z)=(y^2z^1/3,,x^2z^1/3,,(x+y)^1/3) sobre a superfície parametrizada por psi(u,v)=(u,v,(u^3+v^3)/3), com uin[0,1], vin[0,2] e vetor normal apontando para baixo. Vamos usar o procedimento de parametrização de superfície e fluxo.

Passo 2

Para achar o vetor área orientado, calculamos as derivadas parciais:
psiu=(1,0,u^2) e psiv=(0,1,v^2).
O produto vetorial é
psiutimespsiv=(-u^2,,-v^2,,1)

Passo 3

Como queremos o normal apontando para baixo (com componente negativa em k), tomamos
n,dA=-(psiutimespsiv)=(u^2,,v^2,,-1),du,dv

Passo 4

Agora avaliamos F na parametrização:
F(psi(u,v))=(v^2,z^1/3,,u^2,z^1/3,,(u+v)^1/3), z=u^3+v^33

Passo 5

O produto escalar fica
Fcdot n=u^2v^2,z^1/3+u^2v^2,z^1/3- (u+v)^1/3 =2u^2v^2l(u^3+v^33r)^1/3-(u+v)^1/3

Passo 6

Montamos a integral dupla
integral duplaS20Fcdot n,dA=integral0^1integral0^2l[2u^2v^2l(u^3+v^33r)^1/3-(u+v)^1/3r]dv,du

Passo 7

Separando em I1 e I2:
I1=2integral0^1integral0^2u^2v^2l(u^3+v^33r)^1/3dv,du, I2=integral0^1integral0^2(u+v)^1/3dv,du

Passo 8

Para I1, note que
2u^2v^2(u^3+v^3)^1/3=tfrac12u^2partialpartial v(u^3+v^3)^4/3,
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$$I_1=\frac{2}{3{1/3}}\int_01\frac12u2\Bigl[(u3+23){4/3}-(u3){4/3}\Bigr]du
=\frac{1}{3{1/3}}\Bigl[\int_01u2(u3+8){4/3}du-\int_01u^6du\Bigr].$$

Passo 9

Fazendo t=u^3+8 em integral0^1u^2(u^3+8)^4/3du obtemos
integral0^1u^2(u^3+8)^4/3du=17l[9^7/3-8^7/3r],integral0^1u^6du=17

Passo 10

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I1=17,3^1/3l[9^7/3-8^7/3-1r]

Passo 11

Para I2, integremos em v:
integral0^2(u+v)^1/3dv=34l[(u+2)^4/3-u^4/3r],
de modo que
$$I_2=\frac34\int_01[(u+2){4/3}-u^{4/3}]du
=\frac{9}{28}\bigl[3{7/3}-2{7/3}-1\bigr].$$

Passo 12

Subtraindo, obtemos o fluxo buscado.

Resposta

\displaystyle\iint_{S_{20}}F\cdot n,dA=\frac{1}{7,3{1/3}}\bigl[9{7/3}-8^{7/3}-1\bigr];-
;\frac{9}{28}\bigl[3{7/3}-2{7/3}-1\bigr].

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