Calcule:
(a) integral0^1(t i+e^t j) d t;
(b) integral-1^1(sin (3 t) i+11+t^2 j+k) d t;
© integral1^2(3 i+2 j+k) d t.

Passo 1

Estamos calculando integrais definidas de funções vetoriais, tratando cada componente (i, j, k) separadamente e usando integração componente a componente.

Passo 2

Para a parte (a), escrevemos a integral vetorial separada:
integral0^1(t,i + e^t,j),dt = l(integral0^1t,dtr),i + l(integral0^1e^t,dtr),j
Calculando as integrais escalares temos integral0^1t,dt = tfrac12 e integral0^1e^t,dt = e - 1. Portanto o resultado é tfrac12,i + (e-1),j.

Passo 3

Na parte (b), separamos assim:
integral-1^1l(sin(3t),i + tfrac11+t^2,j + 1,kr)dt = l(integral-1^1sin(3t),dtr)i + l(integral-1^1tfrac11+t^2,dtr)j + l(integral-1^11,dtr)k
Usando paridade: sin(3t) é ímpar, então integral-1^1sin(3t)dt=0. Em contraste, 1/(1+t^2) é par, dando 2arctan(1)=pi/2, e integral-1^11,dt=2. Logo o vetor é 0,i + tfracpi2,j + 2,k.

Passo 4

Para ©, a função vetorial é constante (3,2,1), então
integral1^2(3,i + 2,j + 1,k),dt = (3,i + 2,j + k)integral1^2dt = (3,i + 2,j + k),(2-1)
Como o comprimento do intervalo é 1, o resultado final é 3,i + 2,j + k.

Resposta

(a) tfrac12,i + (e-1),j; (b) 0,i + tfracpi2,j + 2,k; © 3,i + 2,j + k.

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