Seja f(x, y)=ccx^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0) Detremine o conjunto dos pontos de continuidade de f.

Passo 1

O enunciado define a função
Temos um problema de continuidade em ℝ² para a função f(x,y) dada por
Precisamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e limite no ponto (0,0).

Passo 2

Para um ponto (x,y)≠(0,0) a função f é quociente de polinômios em x e y, e o denominador x²+y² é estritamente positivo. Logo f é composta de funções contínuas e é contínua em todo ponto com (x,y)≠(0,0).

Passo 3

Agora resta analisar o ponto (0,0). Queremos verificar se vale
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Para isso fazemos uma estimativa do valor absoluto: como para (x,y)≠(0,0) temos x²+y²≥x²>0, então

Passo 4

|x^3x^2+y^2|<=|x|^3x^2=|x|

Passo 5

Quando (x,y)→(0,0), o fator |x|→0, logo
lim(x,y)to(0,0)x^3x^2+y^2=0
Isso coincide com f(0,0). Portanto f é contínua também em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo ponto de ℝ², ou seja, o conjunto de continuidade é ℝ².

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