Seja
Detremine o conjunto dos pontos de continuidade de
.
Passo 1
O enunciado define a função
Temos um problema de continuidade em ℝ² para a função f(x,y) dada por
Precisamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e limite no ponto (0,0).
Passo 2
Para um ponto (x,y)≠(0,0) a função f é quociente de polinômios em x e y, e o denominador x²+y² é estritamente positivo. Logo f é composta de funções contínuas e é contínua em todo ponto com (x,y)≠(0,0).
Passo 3
Agora resta analisar o ponto (0,0). Queremos verificar se vale
Para isso fazemos uma estimativa do valor absoluto: como para (x,y)≠(0,0) temos x²+y²≥x²>0, então
Passo 4
Passo 5
Quando (x,y)→(0,0), o fator |x|→0, logo
Isso coincide com f(0,0). Portanto f é contínua também em (0,0).
Resposta
A função f é contínua em todo ponto de ℝ², ou seja, o conjunto de continuidade é ℝ².