Calcule integral de superfície vetorial oiintS12 F cdot n d A do campo vetorial F(x, y, z)=(z x, z y, raizx^2+y^2), na esfera S12, que pode ser parametrizada por psi(theta, phi)=(2 cos (theta) sen(phi), 2 sen(theta) sen(phi), 2 cos (phi)), theta in[0,2 pi], phi in[0, pi] com vetor normal apontando para fora da esfera

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície (fluxo) do campo vetorial F(x,y,z)=(z x,;z y,;raizx^2+y^2) sobre a esfera de raio 2 (parametrizada por psi(theta,phi)=l(2costhetasinphi,;2sinthetasinphi,;2cosphir)), com vetor normal apontando para fora. O conteúdo envolvido é o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à integral tripla do divergente no volume interno.

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência de F:
nablacdot F=partialpartial x(z x)+partialpartial y(z y)+partialpartial z(raizx^2+y^2)=z+z+0=2z
Pelo Teorema da Divergência temos
oiintSFcdot n,dA=integral triplaV(nablacdot F),dV=integral triplaV2z,dV
onde V é o interior da esfera de raio 2.

Passo 3

Usamos coordenadas esféricas:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi, dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Então
integral triplaV2z,dV=2integral0^2pi!integral0^pi!integral0^2(rhocosphi)(rho^2sinphi),drho,dphi,dtheta

Passo 4

Calculando em etapas, o integral em rho é
integral0^2rho^3,drho=l[tfracrho^44r]0^2=4
Logo
2cdot2picdot4integral0^picosphisinphi,dphi=16pil[tfracsin^2phi2r]0^pi=16picdot0=0
Portanto, pela simetria da função cosphisinphi em [0,pi], obtemos zero.

Passo 5

Como o integral triplo deu zero, concluímos que o fluxo através da esfera também é zero.

Resposta

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