Calcule integral de superfície vetorial
do campo vetorial
, na esfera
, que pode ser parametrizada por
,
com vetor normal apontando para fora da esfera
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície (fluxo) do campo vetorial
sobre a esfera de raio 2 (parametrizada por
), com vetor normal apontando para fora. O conteúdo envolvido é o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à integral tripla do divergente no volume interno.
Passo 2
Primeiro, calculamos a divergência de
:
Pelo Teorema da Divergência temos
onde
é o interior da esfera de raio 2.
Passo 3
Usamos coordenadas esféricas:
Então
Passo 4
Calculando em etapas, o integral em
é
Logo
Portanto, pela simetria da função
em
, obtemos zero.
Passo 5
Como o integral triplo deu zero, concluímos que o fluxo através da esfera também é zero.
Resposta
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