Calcule integral de superfície vetorial integral duplaS14 F cdot n d A do campo vetorial F(x, y, z)=(x y^2, y x^2, z^2), no cone S14, que pode ser parametrizado por psi(r, theta)=(r cos (theta), r sen(theta), 2 r), theta in[0,2 pi], r in[0,1] com vetor normal apontando para dentro do cone

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o fluxo integral duplaS14Fcdot n,dA do campo vetorial F(x,y,z)=(xy^2,,yx^2,,z^2) sobre o cone parametrizado por
psi(r,theta)=(rcostheta,,rsintheta,,2r), rin[0,1],,thetain[0,2pi],
com a orientação do vetor normal apontando para dentro do cone. Vamos usar parametrização, produto vetorial pra achar n,dA e depois integrar o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais da parametrização:
psir(r,theta)=partialpsipartial r=(costheta,,sintheta,,2),
psitheta(r,theta)=partialpsipartialtheta=(-rsintheta,,rcostheta,,0)

Passo 3

Em seguida, obtemos o vetor normal não unitário via produto vetorial:
psirtimespsitheta=(costheta,sintheta,2)times(-rsintheta, rcostheta,0) =(-2rcostheta,,-2rsintheta,,r)
Esse resultado aponta para dentro do cone, como quer o enunciado, e já incorpora o fator dA.

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização no campo F:
x=rcostheta, y=rsintheta, z=2r
F(psi(r,theta))=(r^3costhetasin^2theta,,r^3sinthetacos^2theta,,4r^2)

Passo 5

Calculamos o produto escalar:
F(psi)cdot(psirtimespsitheta)=r^3costhetasin^2theta(-2rcostheta)+r^3sinthetacos^2theta(-2rsintheta)+4r^2cdot r
=-2r^4cos^2thetasin^2theta-2r^4sin^2thetacos^2theta+4r^3=-4r^4cos^2thetasin^2theta+4r^3

Passo 6

Montamos a integral dupla:
integral duplaS14Fcdot n,dA=integral0^2piintegral0^1l(4r^3-4r^4cos^2thetasin^2thetar),dr,dtheta
Usamos sin^2thetacos^2theta=tfrac14sin^2(2theta) e integral0^2pisin^2(2theta)dtheta=pi. Calculando:
4integral0^1r^3drcdot2pi-4integral0^1r^4drcdotpi4=2pi-pi5=9pi5

Resposta

9pi5

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