Calcule integral de superfície vetorial integral duplaS15 F cdot n d A do campo vetorial F(x, y, z)=(x e^z, y e^z, z^2 e^z), no paraboloide elíptico S15, que pode ser parametrizado por psi(r, theta)=(r cos (theta), r sen(theta), 4-r^2),
theta in[0,2 pi], r in[0,2] com vetor normal apontando para cima do paraboloide

Passo 1

O problema pede o fluxo da campo vetorial F(x,y,z)=(x e^z, y e^z, z^2 e^z) através da superfície parametrizada por psi(r,theta)=(rcostheta,,rsintheta,,4-r^2), com 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, e normal apontando para cima. Para resolver, vamos usar parametrização de superfície, calcular psir e psitheta, obter o vetor normal psirtimespsitheta, formar F(psi)cdot(psirtimespsitheta) e integrar em r,theta.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de psi:
psir=(costheta,,sintheta,,-2r),
psitheta=(-rsintheta,,rcostheta,,0)

Passo 3

O vetor normal orientado para cima vem de
psirtimespsitheta=(2r^2costheta,,2r^2sintheta,,r),
cuja componente k=r>0 garante o sentido para cima.

Passo 4

Substituímos na função F e fazemos o produto escalar:
F(psi)=(rcostheta,e^4-r^2,,rsintheta,e^4-r^2,,(4-r^2)^2e^4-r^2),
F(psi)cdot(psirtimespsitheta)=e^4-r^2l(2r^3+r(4-r^2)^2r)=r e^4-r^2l(2r^2+(4-r^2)^2r)

Passo 5

O fluxo é
integral dupla Fcdot n,dA=integral0^2pi!integral0^2r e^4-r^2l(2r^2+(4-r^2)^2r),dr,dtheta =2piintegral0^2(16r-6r^3+r^5)e^4-r^2,dr

Passo 6

Fazendo a substituição u=4-r^2, calcula-se a integral e obtém-se
integral0^2(16r-6r^3+r^5)e^4-r^2,dr=6l(e^4-1r)
Multiplicando por 2pi vem o resultado final.

Resposta

12pi,(e^4-1)

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