Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre continuidade de funções vetoriais. A gente precisa descobrir para quais valores de $ t $ as funções $ F(t) $ são contínuas. Para isso, vamos analisar cada componente da função separadamente, usando o conceito de continuidade de funções reais.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): $ F(t) = t , \mathbf{i} + \sqrt{t} , \mathbf{j} + 3 , \mathbf{k} $.
Passo 3
Primeiro, olhamos para cada componente da função:
-
Componente $ t , \mathbf{i} $:
- A função $ f(t) = t $ é uma função linear, que é contínua para todo $ t $ real.
-
Componente $ \sqrt{t} , \mathbf{j} $:
- A função $ g(t) = \sqrt{t} $ só está definida quando $ t \geq 0 $. Além disso, a raiz quadrada é contínua em seu domínio.
-
Componente $ 3 , \mathbf{k} $:
- Esta é uma constante, então é contínua para todo $ t $ real.
Passo 4
Para a função vetorial $ F(t) $ ser contínua, todas as suas componentes precisam ser contínuas no mesmo conjunto de $ t $. Observamos que:
- $ t $ e $ 3 $ são contínuos para todo $ t $ real.
- $ \sqrt{t} $ é contínua apenas para $ t \geq 0 $.
Passo 5
Portanto, o conjunto dos pontos de continuidade de $ F(t) $ na parte (a) é onde todas as componentes são contínuas simultaneamente, ou seja, $ t \geq 0 $.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): $ F(t) = \sqrt{t-1} , \mathbf{i} + \sqrt{t+1} , \mathbf{j} + e^{t} , \mathbf{k} $.
Passo 7
Analisando cada componente:
-
Componente $ \sqrt{t-1} , \mathbf{i} $:
- A função $ f(t) = \sqrt{t-1} $ está definida quando $ t - 1 \geq 0 $, ou seja, $ t \geq 1 $.
-
Componente $ \sqrt{t+1} , \mathbf{j} $:
- A função $ g(t) = \sqrt{t+1} $ está definida quando $ t + 1 \geq 0 $, ou seja, $ t \geq -1 $.
-
Componente $ e^{t} , \mathbf{k} $:
- A função exponencial $ e^{t} $ é contínua para todo $ t $ real.
Passo 8
Para $ F(t) $ ser contínua na parte (b), todas as componentes precisam ser contínuas no mesmo conjunto de $ t $. Então, devemos encontrar a interseção dos domínios das duas raízes quadradas:
- $ t \geq 1 $ (de $ \sqrt{t-1} $)
- $ t \geq -1 $ (de $ \sqrt{t+1} $)
A interseção desses intervalos é $ t \geq 1 $.
Passo 9
Portanto, o conjunto dos pontos de continuidade de $ F(t) $ na parte (b) é $ t \geq 1 $.
Resposta
(a) A função $ F(t) $ é contínua para todo $ t \geq 0 $.
(b) A função $ F(t) $ é contínua para todo $ t \geq 1 $.