Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
(a) F(t)=t i+raizt j+3 k;
(b) F(t)=raizt-1 i+raizt+1 j+e^t k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre continuidade de funções vetoriais. A gente precisa descobrir para quais valores de $ t $ as funções $ F(t) $ são contínuas. Para isso, vamos analisar cada componente da função separadamente, usando o conceito de continuidade de funções reais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): $ F(t) = t , \mathbf{i} + \sqrt{t} , \mathbf{j} + 3 , \mathbf{k} $.

Passo 3

Primeiro, olhamos para cada componente da função:
  1. Componente $ t , \mathbf{i} $:
    • A função $ f(t) = t $ é uma função linear, que é contínua para todo $ t $ real.
  2. Componente $ \sqrt{t} , \mathbf{j} $:
    • A função $ g(t) = \sqrt{t} $ só está definida quando $ t \geq 0 $. Além disso, a raiz quadrada é contínua em seu domínio.
  3. Componente $ 3 , \mathbf{k} $:
    • Esta é uma constante, então é contínua para todo $ t $ real.

Passo 4

Para a função vetorial $ F(t) $ ser contínua, todas as suas componentes precisam ser contínuas no mesmo conjunto de $ t $. Observamos que:
  • $ t $ e $ 3 $ são contínuos para todo $ t $ real.
  • $ \sqrt{t} $ é contínua apenas para $ t \geq 0 $.

Passo 5

Portanto, o conjunto dos pontos de continuidade de $ F(t) $ na parte (a) é onde todas as componentes são contínuas simultaneamente, ou seja, $ t \geq 0 $.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): $ F(t) = \sqrt{t-1} , \mathbf{i} + \sqrt{t+1} , \mathbf{j} + e^{t} , \mathbf{k} $.

Passo 7

Analisando cada componente:
  1. Componente $ \sqrt{t-1} , \mathbf{i} $:
    • A função $ f(t) = \sqrt{t-1} $ está definida quando $ t - 1 \geq 0 $, ou seja, $ t \geq 1 $.
  2. Componente $ \sqrt{t+1} , \mathbf{j} $:
    • A função $ g(t) = \sqrt{t+1} $ está definida quando $ t + 1 \geq 0 $, ou seja, $ t \geq -1 $.
  3. Componente $ e^{t} , \mathbf{k} $:
    • A função exponencial $ e^{t} $ é contínua para todo $ t $ real.

Passo 8

Para $ F(t) $ ser contínua na parte (b), todas as componentes precisam ser contínuas no mesmo conjunto de $ t $. Então, devemos encontrar a interseção dos domínios das duas raízes quadradas:
  • $ t \geq 1 $ (de $ \sqrt{t-1} $)
  • $ t \geq -1 $ (de $ \sqrt{t+1} $)
A interseção desses intervalos é $ t \geq 1 $.

Passo 9

Portanto, o conjunto dos pontos de continuidade de $ F(t) $ na parte (b) é $ t \geq 1 $.

Resposta

(a) A função $ F(t) $ é contínua para todo $ t \geq 0 $.
(b) A função $ F(t) $ é contínua para todo $ t \geq 1 $.

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