Calcule integral de superfície vetorial integral duplaS16 F cdot n d A do campo vetorial F(x, y, z)=(sen(z), pi cos (z),-2 x), no paraboloide hiperbólico S16, que pode ser parametrizado por psi(u, v)=(u, v, u v), u in[0, 12], v in[0, pi] com vetor normal apontando para cima da superfície

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de superfície vetorial integral duplaS16Fcdot n,dA, onde o campo é F(x,y,z)=(sin z,,picos z,,-2x) e a superfície é o paraboloide hiperbólico parametrizado por psi(u,v)=(u,v,uv), com uin[0,1/2], vin[0,pi] e vetor normal apontando para cima. Vamos usar derivadas parciais, produto vetorial para achar n,dA e depois montar a integral dupla.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais da parametrização:
psiu=(1,0,v) e psiv=(0,1,u). O produto vetorial aponta para cima se tiver componente z>0:
psiutimespsiv=(-v,,-u,,1) Portanto o vetor normal orientado para cima vezes dA é ( -v, -u, 1 ),du,dv.

Passo 3

Agora avaliamos o campo em psi(u,v):
F(psi(u,v))=(sin(uv),,picos(uv),,-2u) O produto escalar fica
F(psi(u,v))cdot(psiutimespsiv)= -vsin(uv) -pi ucos(uv)-2u

Passo 4

Montamos a integral dupla:
integral duplaS16Fcdot n,dA=integralu=0^1/2integralv=0^pil(-vsin(uv)-pi ucos(uv)-2ur),dv,du Separamos em três integrais:
I1=-integral0^1/2integral0^pivsin(uv),dv,du,
I2=-integral0^1/2integral0^pipi ucos(uv),dv,du,
I3=-integral0^1/2integral0^pi2u,dv,du

Passo 5

Calculamos I3 direto:
I3=-2integral0^1/2ul(integral0^pidvr)du=-2piintegral0^1/2u,du=-pi4

Passo 6

Para I2:
integral0^picos(uv),dv=sin(uv)u|0^pi=sin(pi u)u, logo
I2=-piintegral0^1/2usin(pi u)udu=-piintegral0^1/2sin(pi u)du=-1

Passo 7

Agora I1. Pela parte,
integral0^pivsin(uv)dv=-vcos(uv)u+sin(uv)u^2|0^pi=-picos(pi u)u+sin(pi u)u^2 Então
I1=-integral0^1/2l(-picos(pi u)u+sin(pi u)u^2r)du=integral0^1/2l(picos(pi u)u-sin(pi u)u^2r)du

Passo 8

Reconhecemos que esse integrando é a derivada de sin(pi u)/u, pois
ddul(sin(pi u)ur)=pi ucos(pi u)-sin(pi u)u^2 Logo
I1=l[sin(pi u)ur]0^1/2=sin(pi/2)1/2-limuto0sin(pi u)u=2-pi

Passo 9

Somando tudo:
I1+I2+I3=(2-pi)+(-1)+l(-pi4r)=1-5pi4

Resposta

1 - \frac{5\pi}{4}

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