Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada etercicio, suponha que a curva
seja orientada no sentido anti–torário.
, onde
é o quadrado de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral sobre uma curva
, que é um quadrado com vértices em
,
,
e
. O Teorema de Green vai nos ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos. Para isso, vamos precisar identificar as funções
e
na integral e aplicar o teorema corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral dada. A integral está na forma:
Aqui, podemos ver que:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Passo 6
Agora, vamos definir a região
que é o quadrado com vértices em
,
,
e
. Os limites para
vão de 0 a
e para
também vão de 0 a
.
Passo 7
Vamos então escrever a integral dupla:
Passo 8
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 9
Calculando a primeira integral:
Passo 10
Calculando a segunda integral:
Passo 11
Agora, somando as duas partes:
Resposta
A integral avaliada pelo Teorema de Green é igual a zero.