Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada etercicio, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti–torário.
ointC x cos y d x-y sen x d y, onde C é o quadrado de vértices (0,0),(pi / 2,0),(pi / 2, pi / 2) e (0, pi / 2).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral sobre uma curva , que é um quadrado com vértices em , , e . O Teorema de Green vai nos ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos. Para isso, vamos precisar identificar as funções e na integral e aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções ointC x cos y , dx - y sin x , dy e P(x, y) = x cos y na integral dada. A integral está na forma:
Q(x, y) = -y sin x
Aqui, podemos ver que:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy que delimita uma região :
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular Q(x, y) = -y sin x :
partial Qpartial x = -y cos x
P(x, y) = x cos y
Agora, vamos calcular partial Ppartial y = -x sin y :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( -y cos x - (-x sin y) ) dx , dy
= integral duplaD (-y cos x + x sin y) dx , dy

Passo 6

Agora, vamos definir a região que é o quadrado com vértices em , , e . Os limites para vão de 0 a e para também vão de 0 a .

Passo 7

Vamos então escrever a integral dupla:
integral duplaD (-y cos x + x sin y) dx , dy = integral0^pi/2 integral0^pi/2 (-y cos x + x sin y) dx , dy

Passo 8

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi/2 integral0^pi/2 (-y cos x) dx , dy + integral0^pi/2 integral0^pi/2 (x sin y) dx , dy

Passo 9

Calculando a primeira integral:
integral0^pi/2 integral0^pi/2 (-y cos x) dx , dy = -integral0^pi/2 y [ integral0^pi/2 cos x , dx ] dy
= -integral0^pi/2 y [ sin x ]0^pi/2 dy = -integral0^pi/2 y (1 - 0) dy = -integral0^pi/2 y , dy
= -[ y^22 ]0^pi/2 = -(pi/2)^22 = -pi^28

Passo 10

Calculando a segunda integral:
integral0^pi/2 integral0^pi/2 (x sin y) dx , dy = integral0^pi/2 sin y [ integral0^pi/2 x , dx ] dy
= integral0^pi/2 sin y [ x^22 ]0^pi/2 dy = integral0^pi/2 sin y ( (pi/2)^22 ) dy
= pi^28 integral0^pi/2 sin y , dy = pi^28 [ -cos y ]0^pi/2 = pi^28 ( -0 + 1 ) = pi^28

Passo 11

Agora, somando as duas partes:
-pi^28 + pi^28 = 0

Resposta

A integral avaliada pelo Teorema de Green é igual a zero.

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