Calcule a integral de superfície vetorial
do campo vetorial
no cilindro
, que pode ser parametrizado por
, com vetor normal apontando para fora do cilindro
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície (fluxo)
de um campo dado sobre um cilindro parametrizado. O conteúdo envolvido é integral de superfície de campo vetorial, e vamos precisar usar a parametrização, calcular as derivadas parciais, o produto vetorial para achar
e depois fazer a integral dupla.
Passo 2
Temos a parametrização
com
e
. Substituindo em
, obtemos
Passo 3
Agora calculamos as derivadas:
O produto vetorial
dá
Esse vetor aponta para fora do cilindro e já vale como
.
Passo 4
O integrando fica
Reescrevendo
, temos
Passo 5
Montamos a integral dupla:
Passo 6
Primeiro integramos em
:
Depois integramos em
. Cada termo dá zero (por ser integral de funções periódicas ímpares ou porque os limites de substituição coincidem).
Passo 7
Portanto o valor da integral de superfície é zero.
Resposta
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