Calcule a integral de superfície vetorial integral duplaS11 F cdot n d A do campo vetorial F(x, y, z)=(y z^2, raizx+y, x^2-1) no cilindro S11, que pode ser parametrizado por psi(r, theta)=(1+cos (theta), r, sen(theta)), theta in[0,2 pi], r in[0,2], com vetor normal apontando para fora do cilindro

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície (fluxo) integral duplaS11Fcdot n,dA de um campo dado sobre um cilindro parametrizado. O conteúdo envolvido é integral de superfície de campo vetorial, e vamos precisar usar a parametrização, calcular as derivadas parciais, o produto vetorial para achar n,dA e depois fazer a integral dupla.

Passo 2

Temos a parametrização
psi(r,theta)=(x,y,z)=(1+costheta,,r,,sintheta),
com rin[0,2] e thetain[0,2pi]. Substituindo em F(x,y,z)=(y z^2,,raizx+y,,x^2-1), obtemos
F(psi(r,theta))= l(rsin^2theta,,raiz1+costheta + r,,(1+costheta)^2-1r)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas:
psir=(0,1,0), psitheta=(-sintheta,0,costheta)
O produto vetorial psirtimespsitheta
psirtimespsitheta=(costheta,0,sintheta)
Esse vetor aponta para fora do cilindro e já vale como n,dA.

Passo 4

O integrando fica
Fcdot(n,dA)=F(psi)cdot(costheta,0,sintheta) =rsin^2thetacostheta+l((1+costheta)^2-1r)sintheta
Reescrevendo (1+costheta)^2-1=2costheta+cos^2theta, temos
Fcdot(n,dA)=rsin^2thetacostheta+l(2costheta+cos^2thetar)sintheta

Passo 5

Montamos a integral dupla:
integral duplaS11Fcdot n,dA=integral0^2piintegral0^2 l(rsin^2thetacostheta+2costhetasintheta+cos^2thetasinthetar) ,dr,dtheta

Passo 6

Primeiro integramos em r:
integral0^2rsin^2thetacostheta,dr=2sin^2thetacostheta, integral0^2(2costhetasintheta+cos^2thetasintheta),dr=2(2costhetasintheta+cos^2thetasintheta)
Depois integramos em theta. Cada termo dá zero (por ser integral de funções periódicas ímpares ou porque os limites de substituição coincidem).

Passo 7

Portanto o valor da integral de superfície é zero.

Resposta

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