Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 20. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola:
com número primo
com número primo
Passo 1
O enunciado diz: numa urna há bolas enumeradas de
a
, todas igualmente prováveis. A pergunta é: qual a probabilidade de retirar uma bola cujo número seja primo?
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Universo de resultados (todas as bolas): os números
. - O total de resultados possíveis é
(uma bola qualquer entre e ). - O evento de interesse é “sair um número primo” — precisamos identificar quais números entre
e são primos e contar quantos são.
Passo 2
Vamos lembrar a definição e a fórmula básica que usamos aqui. Definição de número primo: um número inteiro
é primo se
e os únicos divisores positivos de
são
e
(ou seja, não é divisível por nenhum inteiro entre
e
).
Fórmula da probabilidade para casos equiprováveis:
Fórmula da probabilidade para casos equiprováveis:
Aqui
é a probabilidade do evento
,
é o número de resultados que atendem a
e
é o tamanho do espaço amostral.
Passo 3
Agora vamos identificar os números primos entre
e
. Lembre que
não é primo (porque não satisfaz
). Vou verificar cada número de
a
, usando testes simples de divisibilidade:
-
: primo (é o menor primo). -
: primo. -
: divisível por composto. -
: primo. -
: divisível por e composto. -
: primo. -
: divisível por composto. -
: divisível por composto. -
: divisível por composto. -
: primo. -
: divisível por composto. -
: primo. -
: divisível por composto. -
: divisível por e composto. -
: divisível por composto. -
: primo. -
: divisível por e composto. -
: primo. -
: divisível por composto.
Portanto os números primos entre
e
são
Contando-os, temos
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da probabilidade. O número de resultados possíveis é
e o de favoráveis é
. Logo
Passo 5
Vamos simplificar a fração
. O máximo divisor comum de
e
é
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Convertendo para decimal e porcentagem:
e isto corresponde a
.
Passo 6
Resumo final (pra você decorar e aplicar na prova): a probabilidade pedida é
, que equivale a
ou
. Vai com calma — conte os primos e use a fórmula favoráveis/possíveis que sempre funciona!