Calcule a integral.
integral(t cos t^2 i+1t j+sec ^2 t k) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida do campo vetorial F(t)=tcos(t^2),i+tfrac1t,j+sec^2 t,k. O conteúdo é integração de função vetorial, que consiste em integrar cada componente separadamente. Para a primeira componente vamos precisar de substituição, e para as outras usamos integrais básicas.

Passo 2

Para a primeira componente temos integral tcos(t^2),dt. Note que ddt(t^2)=2t, então fazemos a substituição u=t^2, du=2t,dt, logo
integral tcos(t^2),dt=12integralcos(u),du=12sin(u)+C1=12sin(t^2)+C1

Passo 3

Para a segunda componente calculamos integral1t,dt=ln|t|+C2, pois essa é a integral clássica de 1/t.

Passo 4

Para a terceira componente usamos que a derivada de tan t é sec^2 t. Assim, integralsec^2 t,dt=tan t+C3. Reunindo tudo num único vetor e agrupando as constantes em C=(C1,C2,C3), chegamos à primitiva vetorial.

Resposta

tfrac12sin(t^2),i+ln|t|,j+tan t,k+C

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