Estude os sinais das seguintes funções::
g(x)=(2 x^3)(x^2+x)

Passo 1

O enunciado pede para estudar os sinais da função g(x) = (2x³)(x² + x). Vamos usar o conteúdo de estudo de sinais de uma função expressa como produto de fatores, identificando zeros, multiplicidades e intervalos de sinal.

Passo 2

Começamos fatorando g(x). Note que x² + x = x(x+1), logo:
g(x) = (2x^3)(x^2 + x) = 2x^3 cdot x(x+1) = 2x^4(x+1)

Passo 3

Agora encontramos os zeros de g(x) resolvendo 2x⁴(x+1)=0. Isso ocorre se x⁴=0 ou x+1=0. Portanto as raízes são x=0 (multiplicidade 4) e x=-1 (multiplicidade 1).

Passo 4

Em estudo de sinais, raízes de multiplicidade par não mudam o sinal e de multiplicidade ímpar mudam. Como x=0 tem mult. 4 (par), o sinal não se inverte ao passar por 0; em x=-1 mult. 1 (ímpar), o sinal muda.

Passo 5

Escolhendo um valor teste em cada intervalo:
  • Para x<-1, temos x+1<0 e x⁴>0, então g(x)=2x⁴(x+1)<0.
  • Para -1<x<0, x+1>0 e x⁴>0, logo g(x)>0.
  • Para x>0, x+1>0 e x⁴>0, então g(x)>0.

Passo 6

Concluímos que:
g(x)<0 em (-∞, -1)
g(x)=0 em {-1, 0}
g(x)>0 em (-1, 0) ∪ (0, ∞)

Resposta

g(x)<0 para x∈(-∞, -1), g(x)=0 em x=-1 e x=0, e g(x)>0 para x∈(-1, 0) ∪ (0, ∞).

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