Calcule a integral.
integral t sen 2 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral t,sin(2t),dt. O conteúdo principal aqui é integração por partes, que serve pra integrar produtos de funções. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
que é o coração do método.

Passo 2

Escolhemos as partes do produto: definimos
u = t e
dv = sin(2t),dt. Assim, derivando e integrando, temos
du = dt
v = integral sin(2t),dt = -tfrac12cos(2t)
Aqui usamos que a derivada de t é 1 e que a antiderivada de sin(2t) é -tfrac12cos(2t).

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral t,sin(2t),dt = u,v - integral v,du
Substituindo o que encontramos:
integral t,sin(2t),dt = tl(-tfrac12cos(2t)r) - integral l(-tfrac12cos(2t)r),dt
Isso vira
-tfract2cos(2t) + tfrac12integral cos(2t),dt

Passo 4

Agora faltou achar integral cos(2t),dt. Sabemos que
integral cos(2t),dt = tfrac12sin(2t) + C
Substituindo de volta e somando a constante de integração, obtemos
-tfract2cos(2t) + tfrac12l(tfrac12sin(2t)r) + C = -tfract2cos(2t) + tfrac14sin(2t) + C

Resposta

-\tfrac{t}{2}\cos(2t) + \tfrac{1}{4}\sin(2t) + C

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