Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo principal aqui é integração por partes, que serve pra integrar produtos de funções. Vamos usar a fórmula
que é o coração do método.
Passo 2
Escolhemos as partes do produto: definimos
e
. Assim, derivando e integrando, temos
du = dt
du = dt
Aqui usamos que a derivada de
é 1 e que a antiderivada de
é
.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo o que encontramos:
Isso vira
Passo 4
Agora faltou achar
. Sabemos que
Substituindo de volta e somando a constante de integração, obtemos
Resposta
-\tfrac{t}{2}\cos(2t) + \tfrac{1}{4}\sin(2t) + C