3- Calcule a integral integral t sen(2 t) d t usando a integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral t sin(2t),d t
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
integral u,d v = u,v - integral v,d u
escolhendo convenientemente u e d v.

Passo 2

Escolhemos
u = t, d v = sin(2t),d t
Então
d u = d t
e precisamos achar
v = integral sin(2t),d t

Passo 3

Para calcular v, note que
integral sin(2t),d t = -12cos(2t),
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v = -12cos(2t)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de partes:
integral t sin(2t),d t = u,v ;-;integral v,d u = tl(-tfrac12cos(2t)r) -integral l(-tfrac12cos(2t)r),d t
Isto é,
integral t sin(2t),d t = -t2cos(2t) +12integral cos(2t),d t

Passo 5

Basta agora integrar cos(2t):
integral cos(2t),d t = 12sin(2t),
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integral t sin(2t),d t = -t2cos(2t) +12cdot12sin(2t) + C = -t2cos(2t) +14sin(2t) + C

Resposta

-t2cos(2t) ;+;14sin(2t);+;C

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