Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar manipulações de potências de
e a fórmula da soma de uma série geométrica.
Passo 2
Começamos simplificando o termo geral. Note que
Assim a série vira
Passo 3
Reconhecemos
como uma série geométrica de razão
com primeiro termo para
dado por
Como
, a série converge e sua soma é
Passo 4
Multiplicando pelo fator
que estava fora da soma, obtemos
No entanto, observe que a própria fatoração do termo geral já dava
e o primeiro termo da série original é
, de modo que aplicando a fórmula direta
Ambas as abordagens levam ao mesmo resultado.
Resposta
A série converge e sua soma é
.