Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty e^n+1-e^ne^2 n+1

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
sumn=1^inftye^n+1-e^ne^2n+1
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar manipulações de potências de e e a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Começamos simplificando o termo geral. Note que
e^n+1-e^ne^2n+1 =e^nl(e-1r)e^2n+1 =e-1e^n+1
Assim a série vira
sumn=1^inftye-1e^n+1 =(e-1)sumn=1^inftye^-(n+1)

Passo 3

Reconhecemos sumn=1^inftye^-(n+1) como uma série geométrica de razão
r=e^-1,
com primeiro termo para n=1 dado por
a1=e^-(1+1)=e^-2
Como lvert rrvert=e^-1<1, a série converge e sua soma é
sumn=1^infty e^-(n+1) =a11-r =e^-21-e^-1 =e^-2(e-1)/e =e^-1

Passo 4

Multiplicando pelo fator (e-1) que estava fora da soma, obtemos
(e-1)sumn=1^infty e^-(n+1) =(e-1),e^-1 =e-1e
No entanto, observe que a própria fatoração do termo geral já dava
e-1e^n+1=(e-1)e^-1,e^-n
e o primeiro termo da série original é (e-1)/e^2, de modo que aplicando a fórmula direta
S=e-1e^21-e^-1 =e-1e^2cdotee-1 =1e
Ambas as abordagens levam ao mesmo resultado.

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac1e.

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