Questão 3
Determine a equação para o plano osculador à curva obtida pela interseção entre o ci
e a superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a equação do plano osculador à curva que é a interseção entre o cilindro $ x^{2} + y^{2} = 1 $ e a superfície $ z + y = 2 $ no ponto $ (1, 0, 2) $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas tridimensionais, planos osculadores e como essas superfícies se intersectam.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva de interseção. O cilindro $ x^{2} + y^{2} = 1 $ é uma superfície circular infinita ao longo do eixo z. A superfície $ z + y = 2 $ é um plano inclinado. A interseção dessas duas dá uma curva no espaço tridimensional.
Passo 3
Para encontrar a equação da curva, podemos parametrizar uma das variáveis. Vamos usar $ \theta $ como parâmetro para representar a circunferência do cilindro. Assim, podemos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ \theta $:
Essa parametrização satisfaz $ x^{2} + y^{2} = 1 $.
Passo 4
Agora, usamos a equação do plano $ z + y = 2 $ para encontrar $ z $ em termos de $ \theta $:
Então, a parametrização completa da curva é:
Passo 5
Para encontrar o plano osculador no ponto $ (1, 0, 2) $, precisamos primeiro identificar o valor de $ \theta $ que corresponde a esse ponto. Observando a parametrização:
Então, $ \theta = 0 $ nos dá o ponto $ (1, 0, 2) $.
Passo 6
Em seguida, vamos encontrar a primeira e a segunda derivadas da função de posição $ \vec{r}(\theta) $ para obter os vetores tangente e de curvatura.
Primeira derivada (vetor tangente):
Avaliada em $ \theta = 0 $:
Segunda derivada (vetor de curvatura):
Avaliada em $ \theta = 0 $:
Passo 7
O plano osculador é definido pelo ponto da curva e pelos vetores tangente e de curvatura nesse ponto. Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que podemos obter através do produto vetorial entre $ \vec{r},’(0) $ e $ \vec{r},’’(0) $.
Calculando o produto vetorial:
Passo 8
Agora que temos o vetor normal $ \vec{n} = (0, -1, 1) $ e o ponto $ (1, 0, 2) $, podemos usar a equação geral do plano:
Onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ é o ponto dado.
Substituindo:
Ou simplificando:
Resposta
A equação do plano osculador é $ z - y = 2 $.