Calcule a integral:
integral tan ^6(x) sec ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral tan^6(x) sec^2(x) , dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de tangente e secante. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição, que facilita o processo de integração quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sec^2(x) é a derivada de tan(x). Isso é importante porque, ao escolhermos uma substituição adequada, podemos simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = tan(x). Assim, a derivada de u em relação a x é du/dx = sec^2(x), o que nos dá du = sec^2(x) , dx.

Passo 4

Com essa substituição, a integral original fica em termos de u:
integral tan^6(x) sec^2(x) , dx = integral u^6 , du

Passo 5

Agora, basta integrar u^6 em relação a u:
integral u^6 , du = u^77 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos voltar para a variável original x substituindo u = tan(x):
u^77 + C = tan^7(x)7 + C

Resposta

A integral integral tan^6(x) sec^2(x) , dx é igual a tan^7(x)7 + C.

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