Calcule
integral x^2x^2+x-2 d x

Passo 1

Então, vamos calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos usar técnicas de divisão de polinômios e frações parciais, que são ferramentas da Cálculo Integral para simplificar integrais racionais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do polinômio no numerador ( ) é igual ao grau do polinômio no denominador ( ). Quando isso acontece, fazemos uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Fazendo a divisão de x^2x^2+x-2 = 1 + -x + 2x^2+x-2 por integral x^2x^2+x-2 , dx = integral 1 , dx + integral -x + 2x^2+x-2 , dx , percebemos que:
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a primeira parte da integral, que é simples:
integral 1 , dx = x + C1
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda integral: . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais.

Passo 6

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Ent��o, podemos escrever a fração como:
-x + 2(x + 2)(x - 1) = Ax + 2 + Bx - 1
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por -x + 2 = A(x - 1) + B(x + 2) para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de e .

Passo 8

Escolhemos valores de -1 + 2 = A(0) + B(3) Rightarrow 1 = 3B Rightarrow B = 13 que simplificam a equação:
  1. Para 2 + 2 = A(-3) + B(0) Rightarrow 4 = -3A Rightarrow A = -43 :
  1. Para :

Passo 9

Substituímos -x + 2(x + 2)(x - 1) = -43x + 2 + 13x - 1 e na expressão original:

Passo 10

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral ( -43x + 2 + 13x - 1 ) dx = -43 ln|x + 2| + 13 ln|x - 1| + C2
Onde é outra constante de integração.

Passo 11

Juntando todas as partes, a solução completa da integral é:
x - 43 ln|x + 2| + 13 ln|x - 1| + C
Onde representa a constante geral de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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