Resolva os problemas a seguir utilizando mudança polar de coordenadas.
Calcule integral duplaD 1(1+x^2+y^2)^2 d A, onde D é o disco de centro na origem e raio 2 em R^2.

Passo 1

A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD 1(1+x^2+y^2)^2,dA, onde D é o disco de raio 2. O conteúdo aqui é integração dupla usando mudança para coordenadas polares, e vamos precisar do Jacobiano r e de substituição em integrais.

Passo 2

Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta, a integral vira:
integral duplaD 1(1+x^2+y^2)^2,dA = integral0^2piintegral0^2 1(1+r^2)^2,r,dr,dtheta
Fatorando 2pi temos
2pi integral0^2 r(1+r^2)^2,dr

Passo 3

Para calcular integral0^2 r(1+r^2)^2,dr, fazemos a substituição u=1+r^2 então du=2r,dr e r,dr=du/2. Os limites em u vão de 1 a 5. Assim:
integral0^2 r(1+r^2)^2,dr = 12 integral1^5 u^-2,du = 12 l[-u^-1r]1^5 = -12l(15-1r)=25

Passo 4

Multiplicando pelo fator 2pi obtemos o valor da integral dupla:
2pi times 25 = 4pi5

Resposta

(\frac{4\pi}{5})

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