Resolva os problemas a seguir utilizando mudança polar de coordenadas.
Calcule
, onde
é o disco de centro na origem e raio
em
.
Calcule
Passo 1
A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é o disco de raio 2. O conteúdo aqui é integração dupla usando mudança para coordenadas polares, e vamos precisar do Jacobiano
e de substituição em integrais.
Passo 2
Em coordenadas polares
,
e
, a integral vira:
Fatorando
temos
Passo 3
Para calcular
, fazemos a substituição
então
e
. Os limites em
vão de
a
. Assim:
Passo 4
Multiplicando pelo fator
obtemos o valor da integral dupla:
Resposta
(\frac{4\pi}{5})