Calcule
integral x-2x^2+x d x

Passo 1

O problema pede para calcular integral x-2x^2+x,dx. O conteúdo é integração de função racional e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para expressar o integrando em termos de 1/x e 1/(x+1).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: x^2+x = x(x+1). Em seguida escrevemos
x-2x(x+1) = Ax + Bx+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x+1) obtemos:
x - 2 = A(x+1) + Bx = (A+B)x + A

Passo 4

Comparando coeficientes de x e termos constantes, temos:
A + B = 1,
A = -2

Passo 5

Daí B = 1 - A = 1 - (-2) = 3.

Passo 6

Substituindo na integral,
integral x-2x^2+x,dx = integral l(-21x + 31x+1r)dx = -2integral dxx + 3integral dxx+1

Passo 7

Agora usamos que integral duu = ln|u| + C. Assim,
-2integral dxx = -2ln|x|,
3integral dxx+1 = 3ln|x+1|

Resposta

-2\ln|x| + 3\ln|x+1| + C

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