Calcule a seguinte integral, invertendo a ordem de integração:
integral0^1 integralraizx^1 e^y^3 d y d x

Passo 1

A integral dada é integral0^1integralraizx^1 e^y^3,dy,dx. O conteúdo aqui envolve integrais duplas e a troca de ordem de integração. Vamos descrever a região de integração e depois inverter a ordem.

Passo 2

A região de integração D é dada por 0<= x<=1 e raizx<= y<=1. No plano (x,y), isso corresponde aos pontos abaixo de y=1 e acima da curva y=raizx.

Passo 3

Para inverter a ordem, percebemos que y varia de 0 a 1 e, para cada y fixo, a condição raizx<= y equivale a x<= y^2. Logo, os limites invertidos são 0<= y<=1 e 0<= x<= y^2.

Passo 4

A integral com a ordem invertida fica
integraly=0^1integralx=0^y^2 e^y^3,dx,dy

Passo 5

Como e^y^3 independe de x, a primeira integração dá
integral0^1l[x,e^y^3r]0^y^2,dy = integral0^1 y^2 e^y^3,dy

Passo 6

Para resolver integral0^1 y^2 e^y^3,dy, fazemos a substituição u=y^3, o que implica du=3y^2,dy e y^2,dy=du/3. Os limites passam de y=0to u=0 e y=1to u=1. Assim a integral vira
13integral0^1 e^u,du = 13[e^u]0^1 = e-13

Resposta

e-13

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