Calcule a seguinte integral, invertendo a ordem de integração:
Passo 1
A integral dada é
. O conteúdo aqui envolve integrais duplas e a troca de ordem de integração. Vamos descrever a região de integração e depois inverter a ordem.
Passo 2
A região de integração
é dada por
e
. No plano
, isso corresponde aos pontos abaixo de
e acima da curva
.
Passo 3
Para inverter a ordem, percebemos que
varia de 0 a 1 e, para cada
fixo, a condição
equivale a
. Logo, os limites invertidos são
e
.
Passo 4
A integral com a ordem invertida fica
Passo 5
Como
independe de
, a primeira integração dá
Passo 6
Para resolver
, fazemos a substituição
, o que implica
e
. Os limites passam de
e
. Assim a integral vira