[Seção 7.8] Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
[35] integral0^pi / 2 tg^2(theta) d theta

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa estudar a integral imprópria integral0^pi/2tan^2(theta),dtheta. O conteúdo é o de integrais impróprias de funções trigonométricas e vamos precisar verificar o comportamento em thetatopi/2^- e usar identidades trig para facilitar.

Passo 2

Para simplificar a integral, usamos a identidade tan^2(theta)=sec^2(theta)-1. Então separamos a integral em duas partes:
integral0^pi/2tan^2(theta),dtheta=integral0^pi/2sec^2(theta),dtheta-integral0^pi/21,dtheta

Passo 3

Calculamos as primitivas:
  • integralsec^2(theta),dtheta=tan(theta)+C.
  • integral1,dtheta=theta+C.

Passo 4

Agora avaliamos o limite impróprio:
limbtopi/2^-l[tan(theta)-thetar]0^b=limbtopi/2^-(tan b - b)-(tan0-0)
Como tan0=0, isso fica limbtopi/2^-(tan b - b).

Passo 5

Observamos que tan bto+infty quando btopi/2^-, enquanto b tende a pi/2 finito. Então o limite é infinito e a integral não converge.

Resposta

A integral integral0^pi/2tan^2(theta),dtheta é divergente.

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