Calcule
integral tg(2 / t)t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular . Isso envolve técnica de substituição, pois dentro da tangente temos uma função composta integral tg(2/t)t^2,dt cuja derivada aparece fora dela.

Passo 2

Escolho a substituição u = tfrac2t. Assim, derivando ambos os lados, fica du = -tfrac2t^2,dt, ou seja, tfracdtt^2 = -tfrac12,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral tanl(2/tr)t^2,dt = integral tan(u) cdot dtt^2 = integral tan(u) l(-tfrac12,dur) = -tfrac12 integral tan(u),du

Passo 4

Agora usamos a primitiva de tan(u). Sabemos que integral tan(u),du = -lnl|cos(u)r| + C. Logo:
-tfrac12 integral tan(u),du = -tfrac12l(-ln|cos(u)|r) + C = tfrac12lnl|cos(u)r| + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando u = 2/t. A resposta fica:
tfrac12lnl|cos(2/t)r| + C

Resposta

tfrac12lnl|cos(2/t)r| + C

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