Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo:
(f(x)=\frac{4 x-x{4}}{\left(x{3}+2\right)^{100}}\

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=4x - x^4(x^3+2)^100. O conteúdo principal aqui é usar as regras de derivada de potência, produto e cadeia, além de manipular frações via reescrita como produto.

Passo 2

Para simplificar a derivada, a gente reescreve f(x) como produto de duas funções:
f(x)=u(x),v(x), u(x)=4x - x^4, v(x)=(x^3+2)^-100

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de u(x) e v(x):
u'(x)=4 - 4x^3, v'(x)=ddxl[(x^3+2)^-100r] =-100,(x^3+2)^-101cdot3x^2 =-300x^2,(x^3+2)^-101

Passo 4

Com isso aplicamos a regra do produto $ (uv)’=u’v+uv’ $:
(uv)'=u'v+uv'

Passo 5

Para deixar mais limpo, fatoramos o menor expoente (x^3+2)^-101 e simplificamos:
f'(x)=(x^3+2)^-101l[(4-4x^3)(x^3+2)-300x^2(4x-x^4)r]

Passo 6

Por fim, desenvolvendo e extraindo fator comum “4”, chegamos à forma mais enxuta:
f'(x)=4l(74x^6-301x^3+2r)(x^3+2)^101

Resposta

f'(x)=dfrac4l(74x^6-301x^3+2r)(x^3+2)^101

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