Questão 6: (Valor 4,0)
Seja
. Mostre que
é conservativo e determine a função potencial de
. Qual é o trabalho realizado por
sobre uma partícula que desloca ao longo da curva de equações paramétricas
.
Seja
Passo 1
O enunciado apresenta o campo vetorial
. Precisamos mostrar que ele é conservativo (isto é, gradiente de alguma função escalar), encontrar essa função potencial e depois calcular o trabalho ao longo da curva paramétrica dada.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, definimos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
e
. Como são iguais em todo
, o campo é conservativo.
Passo 3
Como
, temos
. Integrando em
obtemos:
Para ajustar a parte dependente de
, impomos
. Isso dá
, logo
e podemos tomar
. Assim
Passo 4
O trabalho é dado pelo Teorema Fundamental das integrais de linha em campos conservativos:
Passo 5
Agora achamos os pontos inicial e final da curva
Como
Passo 6
Substituindo em
:
Logo o trabalho realizado é