Questão 6: (Valor 4,0)
Seja F. Mostre que F é conservativo e determine a função potencial de F. Qual é o trabalho realizado por lx=t+arcsen(sen t) y=2pi arcsen(sen t) sobre uma partícula que desloca ao longo da curva de equações paramétricas .

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial vec F(x,y)=(y e^x+e^y),vec i+(e^x+x e^y),vec j. Precisamos mostrar que ele é conservativo (isto é, gradiente de alguma função escalar), encontrar essa função potencial e depois calcular o trabalho ao longo da curva paramétrica dada.

Passo 2

Para verificar que vec F é conservativo, definimos P(x,y)=y e^x+e^y e Q(x,y)=e^x+x e^y. Calculamos as derivadas parciais: partial Ppartial y=e^x+e^y e partial Qpartial x=e^x+e^y. Como são iguais em todo R^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Como vec F=nabla f, temos partial fpartial x=P. Integrando em x obtemos:
f(x,y)=integral(y e^x+e^y),dx=y e^x+x e^y+C(y)
Para ajustar a parte dependente de y, impomos partial fpartial y=Q. Isso dá e^x+ x e^y +C'(y)=e^x+ x e^y, logo C'(y)=0 e podemos tomar C=0. Assim
f(x,y)=y e^x + x e^y

Passo 4

O trabalho é dado pelo Teorema Fundamental das integrais de linha em campos conservativos:
W=f(x(b),y(b))-f(x(a),y(a))

Passo 5

Agora achamos os pontos inicial e final da curva
x=t+arcsin(sin t), y=tfrac2piarcsin(sin t), t=0 a 8pi
Como arcsin(sin(0))=0 e arcsin(sin(8pi))=0, temos
(x(0),y(0))=(0,0),(x(8pi),y(8pi))=(8pi,0)

Passo 6

Substituindo em f:
f(8pi,0)=0cdot e^8pi+8picdot e^0=8pi, f(0,0)=0
Logo o trabalho realizado é W=8pi.

Resposta

8pi

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