Questão 6: (Valor 4,0)
Calcule integralC F cdot d r onde F(x, y)=ln y i+ln x j e C é a curva y=x^38 de (4,8) a (8,64).

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha integralC vec Fcdot dvec r, onde vec F(x,y)=ln y,vec i+ln x,vec j e C é a curva definida por y=tfracx^38 indo de (4,8) até (8,64). O conteúdo é integral de linha do tipo integralC P,dx+Q,dy, e a estratégia será parametrizar C, achar dx e dy e integrar em função de um único parâmetro.

Passo 2

Para parametrizar C, basta tomar x=t e y=t^3/8, com t variando de 4 a 8. Assim, dx=dt e dy=tfrac3t^28,dt. Substituindo em P,dx+Q,dy=ln y,dx+ln x,dy, obtemos
lnl(t^3/8r),dt+ln(t)cdot3t^28,dt

Passo 3

Agora a gente simplifica o integrando e separa em duas partes:
lnl(t^3/8r)=3ln t-ln 8=3ln t-3ln2,
então
integral4^8l(3ln t-3ln2r),dt +integral4^83t^28ln t,dt
Para a segunda parte usamos integração por partes em integral t^2ln t,dt. O resultado final da antiderivada combinada é
3tln t-3t-3tln2+t^38ln t-t^324

Passo 4

Fazendo a avaliação de t=8 e t=4 e subtraindo, a gente chega a
212ln2-923

Resposta

212ln2-tfrac923

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