Calcule a integral.
integral tg^3 x sec ^6 x d x

Passo 1

No enunciado temos a integral integral tan^3 x,sec^6 x,dx. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas em potências, e para resolver vamos usar a identidade tan^2 x=sec^2 x -1 e a substituição u=sec x.

Passo 2

Primeiro, escrevemos tan^3 x como tan xcdottan^2 x e substituímos tan^2 x pela identidade:
tan^3 x,sec^6 x = tan x,(tan^2 x),sec^6 x = tan x,(sec^2 x -1),sec^6 x
Agora expandimos:
tan x,(sec^2 x -1),sec^6 x = tan x,sec^8 x - tan x,sec^6 x

Passo 3

Em cada termo usamos a substituição u=sec x, de modo que du=sec xtan x,dx. Assim:
integral tan x,sec^8 x,dx = integral sec^7 x,(sec xtan x,dx) = integral u^7,du
integral tan x,sec^6 x,dx = integral sec^5 x,(sec xtan x,dx) = integral u^5,du

Passo 4

Integramos em u:
integral u^7,du - integral u^5,du = u^88 - u^66 + C

Passo 5

Por fim, voltamos para x usando u=sec x.

Resposta

sec^8 x8 - sec^6 x6 + C

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