QUESTÃO 05.
No caso especial para f em torno de
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caso em que é chamada série de Maclaurin para
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Use a definição acima para determinar a expressão final da série de Maclaurin, em termos de somatório, para a função
Use a definição acima para determinar a expressão final da série de Maclaurin, em termos de somatório, para a função
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre séries de Maclaurin. Basicamente, a gente precisa encontrar a expressão da série de Maclaurin para a função $ f(x) = e^{-\pi x} $. Pra isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin, que envolve derivadas da função avaliadas em $ x = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos. A fórmula geral é:
Aqui, $ f^{(k)}(0) $ representa a $ k $-ésima derivada de $ f $ avaliada em 0, e $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x) = e^{-\pi x} $. A gente precisa encontrar as derivadas sucessivas de $ f $ e avaliá-las em $ x = 0 $.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas:
- A primeira derivada:
Avaliando em 0:
- A segunda derivada:
Avaliando em 0:
E assim por diante. A gente percebe que a $ k $-ésima derivada será:
Avaliando em 0:
Passo 5
Com esses valores das derivadas, vamos substituir na fórmula da série de Maclaurin:
Resposta
A série de Maclaurin para a função $ f(x) = e^{-\pi x} $ é: