QUESTÃO 05.
sumk=0^+infty f^(k)(x0)k!(x-x0)^k=f(x0) as ordens em x0 então dizemos que a série ãé
No caso especial para f em torno de x=x0.
l x0)^k=f(x0)+f^prime(x0)(x-x0)+f^prime prime(x0)2!(x-x0)^2+cdots+f^(k)(x0)k!(x-x0)^k+cdots em torno de x=x0
sumk=0^+infty f^(k)(0)k! x^k=f(0)+f^prime(0) x+f^prime prime(0)2! x^2+cdots+f^(k)(0)k! x^k+cdots
caso em que é chamada série de Maclaurin para f.
Use a definição acima para determinar a expressão final da série de Maclaurin, em termos de somatório, para a função
f(x)=e^-pi x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre séries de Maclaurin. Basicamente, a gente precisa encontrar a expressão da série de Maclaurin para a função $ f(x) = e^{-\pi x} $. Pra isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin, que envolve derivadas da função avaliadas em $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos. A fórmula geral é:
f(x) = sumk=0^+infty f^(k)(0)k! x^k
Aqui, $ f^{(k)}(0) $ representa a $ k $-ésima derivada de $ f $ avaliada em 0, e $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x) = e^{-\pi x} $. A gente precisa encontrar as derivadas sucessivas de $ f $ e avaliá-las em $ x = 0 $.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • A primeira derivada:
f'(x) = -pi e^-pi x
Avaliando em 0:
f'(0) = -pi e^0 = -pi
  • A segunda derivada:
f''(x) = (-pi)^2 e^-pi x
Avaliando em 0:
f''(0) = pi^2
E assim por diante. A gente percebe que a $ k $-ésima derivada será:
k
Avaliando em 0:
f^(k)(x) = (-pi)^k e^-pi x

Passo 5

Com esses valores das derivadas, vamos substituir na fórmula da série de Maclaurin:
f(x) = sumk=0^+infty (-pi)^kk! x^k

Resposta

A série de Maclaurin para a função $ f(x) = e^{-\pi x} $ é:
f(x) = e^-pi x

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