Calcule a integral
integral tg x sec ^4 x d x
de duas maneiras diferentes. Prove que os dois resultados são equivalentes.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral tan x,sec^4 x,dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando substituição. Vamos precisar conhecer derivadas e identidades trigonométricas, como a derivada de sec x e a relação sec^2 x = 1 + tan^2 x.

Passo 2

Primeiro método: seja u = sec x. Então du = sec xtan x,dx. Podemos reescrever o integrando como
tan xsec^4 x,dx = sec^3 xcdot(sec xtan x,dx)=u^3,du
Integrando, temos
integral u^3,du = u^44 + C = sec^4 x4 + C

Passo 3

Segundo método: usamos a identidade sec^4 x = sec^2 xcdotsec^2 x = (1+tan^2 x)sec^2 x. Assim
tan xsec^4 x,dx = tan x(1+tan^2 x),sec^2 x,dx
Fazemos a substituição v = tan x, então dv = sec^2 x,dx. O integrando torna-se
v(1+v^2),dv = (v+v^3),dv
Integrando,
integral(v+v^3),dv = v^22 + v^44 + C = tan^2 x2 + tan^4 x4 + C

Passo 4

Para mostrar que os dois resultados são equivalentes, usamos a identidade sec^2 x = 1+tan^2 x. Então
sec^4 x = (1+tan^2 x)^2 = 1 + 2tan^2 x + tan^4 x
Logo,
sec^4 x4 = 14 + tan^2 x2 + tan^4 x4
Isso mostra que
tfracsec^4 x4 e tfractan^2 x2 + tfractan^4 x4 diferem apenas pela constante tfrac14, logo representam a mesma família de primitivas.

Resposta

Uma forma compacta da antiderivada é
sec^4 x4 + C,
que equivale a
tan^2 x2 + tan^4 x4 + C

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