Calcule a integral
de duas maneiras diferentes. Prove que os dois resultados são equivalentes.
de duas maneiras diferentes. Prove que os dois resultados são equivalentes.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral
. O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando substituição. Vamos precisar conhecer derivadas e identidades trigonométricas, como a derivada de
e a relação
.
Passo 2
Primeiro método: seja
. Então
. Podemos reescrever o integrando como
Integrando, temos
Passo 3
Segundo método: usamos a identidade
. Assim
Fazemos a substituição
Integrando,
Passo 4
Para mostrar que os dois resultados são equivalentes, usamos a identidade
. Então
Logo,
Isso mostra que
e
diferem apenas pela constante
, logo representam a mesma família de primitivas.
Resposta
Uma forma compacta da antiderivada é
que equivale a