Nos exercícios a seguir use a substituição para converter as integrais em integrais de funções racionais.
Em seguida, use frações parciais para avaliar as integrais.
integral 1raizx+raiz[3]x d x ; x=u^6

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a integral de uma soma de radicais no denominador, ou seja,
integral 1raizx+raiz[3]x,dx
O conteúdo é mudança de variável para transformar em função racional e depois uso de frações parciais para integrar.

Passo 2

Aplicando a substituição x = u^6:
x = u^6 implies dx = 6u^5,du,
raizx = u^3, raiz[3]x = u^2,
Substituindo na integral:
integral 1u^3+u^2 cdot 6u^5,du = integral 6u^3u+1,du

Passo 3

Simplificando o integrando: basta fatorar o denominador u^3+u^2=u^2(u+1) para obter:
6u^5u^2(u+1)=6u^3u+1

Passo 4

Decompondo em frações parciais (divisão polinomial):
u^3u+1=u^2-u+1-1u+1
Logo:
6u^3u+1=6l(u^2-u+1-1u+1r)

Passo 5

Integração termo a termo:
6integral l(u^2-u+1-1u+1r)du =6l(u^33-u^22+u-ln|u+1|r)+C
=2u^3-3u^2+6u-6ln|u+1|+C

Passo 6

Voltando à variável x, lembrando u=x^1/6:
2l(x^1/6r)^3-3l(x^1/6r)^2+6x^1/6-6lnl(x^1/6+1r)+C
que é
2raizx-3x^1/3+6x^1/6-6lnl(x^1/6+1r)+C

Resposta

2\sqrt{x}-3x{1/3}+6x{1/6}-6\ln\bigl(x^{1/6}+1\bigr)+C

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