Use a decomposição de fração parcial (ou uma técnica mais simples) para expressar a função racional como uma soma ou diferença de duas ou mais expressões racionais mais simples.
3 x^4+x^3+20 x^2+3 x+31(x+1)(x^2+4)^2
3 x^4+x^3+20 x^2+3 x+31(x+1)(x^2+4)^2

Passo 1

A questão pede para escrever a função racional tfrac3x^4 + x^3 + 20x^2 + 3x + 31(x+1)(x^2+4)^2 como soma de frações mais simples, usando decomposição em frações parciais. O conteúdo é justamente frações parciais envolvendo fator linear e fator quadrático irreduzível repetido; vamos precisar conhecer a forma geral dessa decomposição.

Passo 2

Quando temos um fator linear x+1 e um fator quadrático irreduzível x^2+4 com multiplicidade 2, a forma geral da decomposição é
3x^4 + x^3 + 20x^2 + 3x + 31(x+1)(x^2+4)^2 = Ax+1 + Bx + Cx^2+4 + Dx + E(x^2+4)^2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x+1)(x^2+4)^2 para obter uma identidade polinomial em x:
3x^4 + x^3 + 20x^2 + 3x + 31 = A(x^2+4)^2 + (Bx + C)(x+1)(x^2+4) + (Dx + E)(x+1)

Passo 4

Expandindo e agrupando coeficientes de x^4, x^3, x^2, x, e termo constante, obtemos o sistema
A + B = 3, B + C = 1, 8A + 4B + C + D = 20, 4B + 4C + D + E = 3, 16A + 4C + E = 31

Passo 5

Das duas primeiras equações tiramos B = 3 - A e C = A - 2. Substituindo na terceira, obtemos D = 10 - 5A. Usando ainda a quarta e a quinta, achamos E = 5A - 11 e, por fim, da última sai A = 2. Logo B = 1, C = 0, D = 0, E = -1.

Resposta

3x^4 + x^3 + 20x^2 + 3x + 31(x+1)(x^2+4)^2 = 2x+1 + xx^2+4 - 1(x^2+4)^2

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