Calcule integral 1-tg^2 xsec ^2 x d x
Apresente cada etapa da resolução.

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral integral 1-tg^2 xsec ^2 x dx. Isso está relacionado ao cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas identidades importantes:
  1. tg x = sin xcos x
  2. sec x = 1cos x
  3. tg^2 x + 1 = sec^2 x
Essas vão ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 3

Vamos substituir a terceira identidade na expressão original:
1 - tg^2 xsec^2 x = 1 - (sec^2 x - 1)sec^2 x
Isso ficou assim porque tg^2 x = sec^2 x - 1.

Passo 4

Simplificando o numerador:
1 - (sec^2 x - 1) = 1 - sec^2 x + 1 = 2 - sec^2 x
Então, a integral agora é:
integral 2 - sec^2 xsec^2 x dx

Passo 5

Vamos dividir a fração:
2sec^2 x - sec^2 xsec^2 x = 2 cos^2 x - 1
Lembre que 1sec x = cos x, então 1sec^2 x = cos^2 x.

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
integral (2 cos^2 x - 1) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Para integrar 2 cos^2 x, usamos a identidade de redução:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Então:
2 cos^2 x = 2 cdot 1 + cos 2x2 = 1 + cos 2x

Passo 8

Substituindo de volta na integral:
integral (1 + cos 2x - 1) dx = integral cos 2x dx

Passo 9

Integrando cos 2x:
integral cos 2x dx = sin 2x2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a sin 2x2 + C.

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