Nos seguintes exercícios, dada a solução y1(x) da equação diferencial, encontre a um conjunto fundamental de soluções
4 x^2 y^prime prime-4 x y^prime+(3-16 x^2) y=0, y1(x)=x^1 / 2 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para achar uma segunda solução independente para a equação
4x^2y''-4xy'+(3-16x^2)y=0
sabendo que já temos y1(x)=x^1/2e^2x. O conteúdo é resolução de EDO de 2ª ordem por redução de ordem.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0. Dividindo tudo por 4x^2 obtemos
y''- rac1xy'+iggl(34x^2-4gr)y=0, 
também identificamos p(x)=-1x.

Passo 3

Na técnica de redução de ordem usamos a fórmula
y2(x)=y1(x),integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx
Como p(x)=-1/x temos e^-integral p,dx=e^ln x=x. E também
y1(x)^2=(x^1/2e^2x)^2=x,e^4x

Passo 4

Substituindo na integral:
integral xx e^4x,dx=integral e^-4x,dx=-tfrac14e^-4x+C
Logo,
y2(x)=x^1/2e^2xcdotl(-tfrac14e^-4xr) =-tfrac14x^1/2e^-2x
Podemos desprezar o fator constante -1/4), ficando uma solução independente.

Passo 5

Assim obtemos o conjunto fundamental de soluções.

Resposta

Um conjunto fundamental é dado por
[
{;x{1/2}e{2x},;x{1/2}e{-2x}}.

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