Nos seguintes exercícios, dada a solução
da equação diferencial, encontre a um conjunto fundamental de soluções
Passo 1
Estamos lidando com a equação de Euler–Cauchy
cuja solução conhecida é
. Queremos encontrar uma segunda solução independente para formar o conjunto fundamental.
Passo 2
Na equação de Euler–Cauchy, a gente tenta um ansatz do tipo
. Assim temos
Substituindo na equação original e dividindo por
(válido para
), obtemos a equação indicial:
Passo 3
Passo 4
Agora simplificamos a indicial:
Isso mostra que temos uma raiz dupla
.
Passo 5
Para equações de Euler–Cauchy com raiz dupla
, o segundo membro do conjunto fundamental é dado por
. Logo,
Resposta
Um conjunto fundamental de soluções é
.