Nos seguintes exercícios, dada a solução y1(x) da equação diferencial, encontre a um conjunto fundamental de soluções
x^2 y^prime prime-(2 a-1) y^prime+a^2 y=0, y1(x)=x^a

Passo 1

Estamos lidando com a equação de Euler–Cauchy
x^2y''-(2a-1)y'+a^2y=0
cuja solução conhecida é y1(x)=x^a. Queremos encontrar uma segunda solução independente para formar o conjunto fundamental.

Passo 2

Na equação de Euler–Cauchy, a gente tenta um ansatz do tipo y=x^r. Assim temos
y'=r x^r-1,
y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo na equação original e dividindo por x^r (válido para x>0), obtemos a equação indicial:

Passo 3

r(r-1)-(2a-1)r+a^2=0

Passo 4

Agora simplificamos a indicial:
r^2-r-2ar+r+a^2=r^2-2ar+a^2=(r-a)^2=0
Isso mostra que temos uma raiz dupla r=a.

Passo 5

Para equações de Euler–Cauchy com raiz dupla r=a, o segundo membro do conjunto fundamental é dado por y2(x)=x^rln x. Logo,
y2(x)=x^aln x

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções é x^a,;x^aln x.

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