Calcule a integral.
integral tg^-1(2 y) d y

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de tg^-1(2y) em relação a y. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integração por partes. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, que ajuda quando temos um produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nessa fórmula, precisamos identificar partes da nossa integral que vão ser u e dv.

Passo 3

Vamos escolher:
u = tg^-1(2y)
Então, precisamos calcular du. E também:
dv = dy
Que é fácil de integrar.

Passo 4

Calculando du:
Sabemos que a derivada de tg^-1(x) é 11 + x^2. Então, aplicando a regra da cadeia:
du = ddy tg^-1(2y) , dy = 21 + (2y)^2 , dy = 21 + 4y^2 , dy
E integrando dv:
v = integral dy = y

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral tg^-1(2y) , dy = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
= tg^-1(2y) cdot y - integral y cdot 21 + 4y^2 , dy

Passo 6

Vamos simplificar a integral que sobrou:
integral 2y1 + 4y^2 , dy
Aqui, podemos usar uma substituição simples. Seja:
w = 1 + 4y^2 Rightarrow dw = 8y , dy Rightarrow dw8 = y , dy

Passo 7

Reescrevendo a integral em termos de w:
integral 2y1 + 4y^2 , dy = integral 2w cdot dw8 = 14 integral 1w , dw = 14 ln|w| + C = 14 ln(1 + 4y^2) + C

Passo 8

Voltando para a expressão original:
integral tg^-1(2y) , dy = y cdot tg^-1(2y) - 14 ln(1 + 4y^2) + C

Resposta

A integral de tg^-1(2y) em relação a y é:
integral tg^-1(2y) , dy = y cdot tg^-1(2y) - 14 ln(1 + 4y^2) + C

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