Calcule a integral.
integral z^3 e^z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral z^3 e^z , dz. O conteúdo da matéria é integração por partes, e vamos precisar usar a fórmula
integral u , dv = u,v - integral v , du
além de repetir esse processo quando surgir novamente uma integral de polinômio vezes exponencial.

Passo 2

Vamos aplicar integração por partes na integral original. Escolhemos
integral z^3 e^z , dz = z^3e^z - integral 3z^2e^z , dz
Então

Logo,

Passo 3

Agora precisamos calcular integral z^2 e^z , dz. Aplicamos novamente integração por partes com
integral z^2e^z , dz = z^2e^z - integral 2z e^z , dz
Então
integral z e^z , dz
Logo,
integral z e^z , dz = z e^z - integral e^z , dz = z e^z - e^z
E para escolhemos

resultando em

Passo 4

Substituindo de volta,
integral z^2e^z , dz = z^2e^z - 2l(z e^z - e^zr) = z^2e^z - 2ze^z + 2e^z
Então
integral 3z^2e^z , dz = 3l(z^2e^z - 2ze^z + 2e^zr) = 3z^2e^z - 6ze^z + 6e^z

Passo 5

Voltando à integral original,
integral z^3e^z , dz = z^3e^z - l(3z^2e^z - 6ze^z + 6e^zr) = e^zl(z^3 - 3z^2 + 6z - 6r) + C

Resposta

e^{z} \bigl(z^{3} - 3z^{2} + 6z - 6\bigr) + C

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