Resolva, usando o método da variação de parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar conhecer a teoria das equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como aplicar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa usando o método da variação de parâmetros. Assumimos que:
Onde $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $ são funções que vamos determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de $ y_p $:
E:
Mas, para simplificar, usamos que $ y_p’’ + y_p = \csc x $, e aplicamos as condições de variação de parâmetros onde:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
Então:
E:
Passo 6
Agora, substituímos $ u_1 $ e $ u_2 $ na expressão de $ y_p $:
Passo 7
Finalmente, somamos a solução homogênea $ y_h $ com a particular $ y_p $ para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: