Resolva, usando o método da variação de parâmetros:
y^prime prime+y=csc x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
y'' + y = csc x
Aqui, vamos precisar conhecer a teoria das equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como aplicar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' + y = 0
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica:
r^2 + 1 = 0 implies r = pm i
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 cos x + C2 sin x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa usando o método da variação de parâmetros. Assumimos que:
yp
Onde $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $ são funções que vamos determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de $ y_p $:
yp
E:
yp' = u1' cos x - u1 sin x + u2' sin x + u2 cos x
Mas, para simplificar, usamos que $ y_p’’ + y_p = \csc x $, e aplicamos as condições de variação de parâmetros onde:
yp'' = u1'' cos x - 2u1' sin x - u1 cos x + u2'' sin x + 2u2' cos x - u2 sin x
yp'' + yp = csc x

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
u1' cos x + u2' sin x = 0 implies u1' = -u2' tan x
  1. Substituindo na segunda equação:
-(-u2' tan x) sin x + u2' cos x = csc x u2' (tan x sin x + cos x) = csc x u2' (sin^2 xcos x + cos x) = csc x u2' (sin^2 x + cos^2 xcos x) = csc x u2' (1cos x) = csc x u2' = cos x csc x = cot x
Então:
u2 = integral cot x , dx = ln |sin x| + C
E:
u1' = -u2' tan x = -cot x tan x = -1 u1 = integral -1 , dx = -x + C

Passo 6

Agora, substituímos $ u_1 $ e $ u_2 $ na expressão de $ y_p $:
u1

Passo 7

Finalmente, somamos a solução homogênea $ y_h $ com a particular $ y_p $ para obter a solução geral:
yh

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 cos x + C2 sin x - x cos x + sin x ln |sin x|

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