Calcular o centro de massa de uma lamina quadrada de 4 cm de lado, com densidade de massa de.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o centro de massa de uma lamina quadrada de 4 cm de lado, onde a densidade de massa varia com $ x $, especificamente $ \delta(x, y) = x $. Aqui, estamos lidando com conceitos de cálculo de centro de massa em física, e vamos precisar usar integrais duplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nosso sistema de coordenadas. Vamos colocar o canto inferior esquerdo da lamina na origem (0, 0). Assim, os limites de $ x $ e $ y $ vão de 0 a 4 cm.

Passo 3

O centro de massa (x, y) é dado pelas fórmulas:
x = integral dupla x cdot de
y = integral dupla y cdot de
Como a densidade é $ \delta(x, y) = x $, vamos substituir isso nas integrais.

Passo 4

Vamos calcular a massa total $ M $:
M
Integrando de 0 a 4 para $ x $ e $ y $:
M = integral dupla de

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \iint x \cdot \delta(x, y) ,dx,dy $:
integral dupla x cdot de
Integrando de 0 a 4:
integral dupla x cdot x ,dx,dy = integral dupla x^2 ,dx,dy
Então,
integral0^4 integral0^4 x^2 ,dy,dx = integral0^4 x^2 cdot 4 ,dx = 4 integral0^4 x^2 ,dx = 4 [ x^33 ]0^4 = 4 ( 643 - 0 ) = 2563

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \iint y \cdot \delta(x, y) ,dx,dy $:
integral dupla y cdot de
Como $ x $ e $ y $ são independentes, a integral fica:
integral dupla y cdot x ,dx,dy
Então,
x

Resposta

O centro de massa da lamina está localizado em ( 83 , cm, , 2 , cm ), ou aproximadamente (2,67 , cm, , 2 , cm).

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