Calcule a integral
ointC e^z(z-i)(z^2+4) d z
tomando para C, sucessivamente, os seguintes círculos, todos orientados positivamente:
de raio 3 , centrado na origem;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de contorno
ointCe^z(z - i)l(z^2+4r),dz
sobre o círculo Ccolon |z|=3 (orientado positivamente). Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que afirma que, se f é meromorfa dentro e sobre C, então
ointCf(z),dz = 2pi isum (resíduos de f nos polos internos) í

Passo 2

Identificamos os polos de
f(z)=e^z(z - i)(z^2+4)
As raízes do denominador são
z=i, z^2+4=0;Longrightarrow;z=2i,,-2i
Todos são polos simples.

Passo 3

Como C é |z|=3, verifica-se
|i|=1<3,|2i|=2<3,|-2i|=2<3,
logo os três polos i, 2i e -2i estão dentro de C.

Passo 4

Calculamos os resíduos simples em cada polo:
Res(f,i) =limzto i(z-i)e^z(z-i)(z^2+4) =e^ii^2+4 =e^i-1+4 =e^i3,
Res(f,2i) =limzto2i(z-2i)e^z(z-i)(z^2+4) =e^2i(2i-i)cdot2(2i) =e^2iicdot4i =-e^2i4,
Res(f,-2i) =limzto-2i(z+2i)e^z(z-i)(z^2+4) =e^-2i(-2i-i)cdot2(-2i) =e^-2i-3icdot(-4i) =-e^-2i12

Passo 5

Somando os resíduos e aplicando o Teorema dos Resíduos, obtemos
ointCe^z(z - i)(z^2+4),dz =2pi il(e^i3-e^2i4-e^-2i12r)

Resposta

ointCe^z(z - i)(z^2+4),dz =2pi il(e^i3-e^2i4-e^-2i12r)

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