Calcule a integral, transformando para coodenadas esféricas.
(b) integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2(x^2 z+y^2 z+z^3) d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral-a^a!integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2!integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2(x^2z + y^2z + z^3),dz,dx,dy transformando para coordenadas esféricas. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais múltiplas usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as relações
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
e o elemento de volume
dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta
A região de integração é a esfera de raio a, logo
0 <= r <= a, 0 <= phi <= pi, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Agora vamos transformar o integrando. Note que
x^2 + y^2 = r^2sin^2phi, z = rcosphi Então
x^2z + y^2z + z^3 = r^2sin^2phi,(rcosphi) + (rcosphi)^3 = r^3cosphil(sin^2phi + cos^2phir) = r^3cosphi

Passo 4

Multiplicando pelo jacobiano:
(r^3cosphi),(r^2sinphi) = r^5cosphisinphi A integral fica
integral0^2pi!dtheta integral0^pi !l(cosphisinphir) ,dphi integral0^a r^5,dr

Passo 5

Calculando cada parte:
integral0^2pi dtheta = 2pi, integral0^a r^5 dr = a^66, e crucialmente
integral0^pi cosphisinphi,dphi = sin^2phi2|0^pi = 0 Portanto o valor da integral é zero.

Resposta

0

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