Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o sólido cuja região é dada por
O conteúdo aqui é interpretação de integrais triplas e identificação de superfícies que limitam o sólido.
O conteúdo aqui é interpretação de integrais triplas e identificação de superfícies que limitam o sólido.
Passo 2
A projeção do sólido no plano yz é o triângulo definido por
Esse triângulo tem vértices em (y,z) = (0,0), (2,0) e (0,2).
Para cada ponto (y,z) nesse triângulo, x varia de 0 até a superfície
Esse triângulo tem vértices em (y,z) = (0,0), (2,0) e (0,2).
Para cada ponto (y,z) nesse triângulo, x varia de 0 até a superfície
ou seja, o sólido está abaixo do paraboloide de equação
e acima do plano
.
Além disso, lateralmente o sólido é limitado pelos planos
que formam o contorno do triângulo na projeção.
Além disso, lateralmente o sólido é limitado pelos planos
que formam o contorno do triângulo na projeção.
Passo 3
No esboço, primeiro desenhe o triângulo no plano yz. Depois, imagine o paraboloide de vértice em
caindo em direção ao plano
, mas apenas sobre aquele triângulo. O resultado é uma “porção” de paraboloide cortada pelas três paredes planas.
Para representar visualmente:– Desenhe os eixos x (saindo para fora da página), y (horizontal à direita) e z (vertical para cima).– Marque no plano yz o triângulo (0,0),(2,0),(0,2).– Sobre esse triângulo, trace curvas de nível do paraboloide , que vão de x=4 no vértice até x=0 na circunferência y2+z2=4.
Para representar visualmente:– Desenhe os eixos x (saindo para fora da página), y (horizontal à direita) e z (vertical para cima).– Marque no plano yz o triângulo (0,0),(2,0),(0,2).– Sobre esse triângulo, trace curvas de nível do paraboloide
Passo 4
O esboço mostra um sólido que lembra um “gomo” de paraboloide, limitado internamente pelo plano x=0 e lateralmente pelos planos y=0, z=0 e y+z=2.
Resposta
O sólido é a porção do paraboloide
que fica entre o plano
e o triângulo do plano yz definido por
. Em outras palavras, é um “gomo” de paraboloide recortado pelas faces planas
,
e
.