Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
(b) integral0^2 integral0^2-y integral0^4-z^2-y^2 d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o sólido cuja região é dada por

O conteúdo aqui é interpretação de integrais triplas e identificação de superfícies que limitam o sólido.

Passo 2

A projeção do sólido no plano yz é o triângulo definido por
x = 4 - y^2 - z^2
Esse triângulo tem vértices em (y,z) = (0,0), (2,0) e (0,2).
Para cada ponto (y,z) nesse triângulo, x varia de 0 até a superfície
x + y^2 + z^2 = 4
ou seja, o sólido está abaixo do paraboloide de equação
x=0
e acima do plano .
Além disso, lateralmente o sólido é limitado pelos planos

que formam o contorno do triângulo na projeção.

Passo 3

No esboço, primeiro desenhe o triângulo no plano yz. Depois, imagine o paraboloide de vértice em (x,y,z)=(4,0,0) caindo em direção ao plano x=0, mas apenas sobre aquele triângulo. O resultado é uma “porção” de paraboloide cortada pelas três paredes planas.
Para representar visualmente:– Desenhe os eixos x (saindo para fora da página), y (horizontal à direita) e z (vertical para cima).– Marque no plano yz o triângulo (0,0),(2,0),(0,2).– Sobre esse triângulo, trace curvas de nível do paraboloide x=4 - y^2 - z^2, que vão de x=4 no vértice até x=0 na circunferência y2+z2=4.

Passo 4

O esboço mostra um sólido que lembra um “gomo” de paraboloide, limitado internamente pelo plano x=0 e lateralmente pelos planos y=0, z=0 e y+z=2.

Resposta

O sólido é a porção do paraboloide x+ y^2+ z^2=4 que fica entre o plano x=0 e o triângulo do plano yz definido por 0<= y<=2,;0<= z<=2-y. Em outras palavras, é um “gomo” de paraboloide recortado pelas faces planas y=0, z=0 e y+z=2.

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