Dada à eq. utilize separação de variáveis para encontrar o sistema de equações ordinarias.
x Ux++ut=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial dada por:
x , ux + ut = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas parciais em relação a e . O conteúdo envolvido é sobre separação de variáveis, uma técnica usada para resolver equações diferenciais que permite separar as variáveis e em lados opostos da equação. Para resolver isso, vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de .

Passo 2

Vamos assumir que a solução u(x, t) = X(x) cdot T(t) pode ser expressa como:
Aqui, é uma função que depende somente de e depende somente de . Essa hipótese é a base da separação de variáveis.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa forma na equação original. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de ux = dXdx cdot T(t) :
ut = X(x) cdot dTdt
x cdot ( dXdx cdot T(t) ) + X(x) cdot dTdt = 0
Substituindo na equação dada:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis x cdot dXdx cdot T(t) = -X(x) cdot dTdt e xX(x) cdot dXdx = -1T(t) cdot dTdt :
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Percebemos que o lado esquerdo depende só de xX(x) cdot dXdx = k e o lado direito depende só de -1T(t) cdot dTdt = k . Para que a igualdade seja verdadeira para todos os valores de e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de . Assim, temos duas equações:
Para :
E para :

Passo 6

Vamos resolver a equação para dXdx = kx cdot X(x) :
integral 1X(x) , dX = integral kx , dx
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida por integração:
ln |X(x)| = k ln |x| + C1
X(x) = C1 cdot x^k

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para dTdt = -k cdot T(t) :
integral 1T(t) , dT = integral -k , dt
Essa também é uma equação diferencial linear simples:
ln |T(t)| = -k t + C2
T(t) = C2 cdot e^-k t

Passo 8

Finalmente, combinamos as soluções de u(x, t) = X(x) cdot T(t) = C1 cdot x^k cdot e^-k t e u(x, t) = C cdot x^k cdot e^-k t para obter a solução geral da equação original:
Podemos simplificar as constantes e em uma única constante arbitrária , então a solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação dada é:
u(x, t) = C cdot x^k cdot e^-k t
Onde é uma constante arbitrária e é uma constante de separação.

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