Dada à eq. utilize separação de variáveis para encontrar o sistema de equações ordinarias.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial dada por:
Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas parciais em relação a
e
. O conteúdo envolvido é sobre separação de variáveis, uma técnica usada para resolver equações diferenciais que permite separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Para resolver isso, vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
.
Passo 2
Vamos assumir que a solução
pode ser expressa como:
Aqui,
é uma função que depende somente de
e
depende somente de
. Essa hipótese é a base da separação de variáveis.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa forma na equação original. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
Substituindo na equação dada:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Percebemos que o lado esquerdo depende só de
e o lado direito depende só de
. Para que a igualdade seja verdadeira para todos os valores de
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de
. Assim, temos duas equações:
Para
:
E para
:
Passo 6
Vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida por integração:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para
:
Essa também é uma equação diferencial linear simples:
Passo 8
Finalmente, combinamos as soluções de
e
para obter a solução geral da equação original:
Podemos simplificar as constantes
e
em uma única constante arbitrária
, então a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação dada é:
Onde
é uma constante arbitrária e
é uma constante de separação.