Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.
(b) integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^9-x^2-y^2 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integralx=-3^3integraly=0^raiz9-x^2integralz=0^9-x^2-y^2dz,dy,dx
transformando para coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, usando
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, dV = r,dz,dr,dtheta
e precisamos definir corretamente os limites para r, theta e z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a projeção no plano xy é o semicírculo de raio 3 com y>=0. Assim temos
rin[0,3], thetain[0,pi], zin[0,9-r^2]
Logo a integral vira
integraltheta=0^piintegralr=0^3integralz=0^9-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integralz=0^9-r^2r,dz = rl[zr]0^9-r^2 = r(9-r^2)
A integral reduz-se a
integraltheta=0^piintegralr=0^3r(9-r^2),dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em r e depois em theta:
integral0^3(9r - r^3),dr = [9r^22 - r^44]0^3 = 812 - 814 = 814,
e em seguida
integral0^pi814,dtheta = 814pi

Resposta

81pi4

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