Sejam
e
.
Componha a função
com as funções coordenadas
e
. Depois, calcule diretamente da expressão obtida
;
Componha a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ z(x, y) = x^{2}(y + y^{2}) + y^{2} $ e duas funções que definem $ x $ e $ y $ em termos de $ t $: $ x(t) = t^{-1} $ e $ y(t) = 2t^{2} $. Nosso objetivo é primeiro compor a função $ z $ com $ x(t) $ e $ y(t) $, ou seja, encontrar $ z(t) = z(x(t), y(t)) $. Depois, vamos calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $, $ \frac{dz}{dt} $, diretamente a partir dessa expressão.
Passo 2
Vamos substituir $ x(t) $ e $ y(t) $ na expressão de $ z(x, y) $. Isso significa que onde vemos $ x $, colocamos $ t^{-1} $ e onde vemos $ y $, colocamos $ 2t^{2} $. Ficando assim:
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão passo a passo:
- Calcular $ (t{-1}){2} $:
- Calcular $ (2t{2}){2} $:
Substituindo na expressão de $ z(t) $:
Agora, vamos multiplicar dentro dos parênteses:
Então:
Simplificando $ \frac{1}{t^{2}} \cdot 2t^{2} $:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos $ z(t) = 2 + 4t^{2} + 4t^{4} $, vamos calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $, $ \frac{dz}{dt} $.
Para derivar cada termo:
- A derivada de uma constante é zero:
- Para $ 4t^{2} $, aplicamos a regra da potência:
- Para $ 4t^{4} $:
Somando as derivadas: