Sejam z(x, y)=x^2(y+y^2)+y^2, x(t)=t^-1 e y(t)=2 t^2.
Componha a função z(x, y) com as funções coordenadas x(t) e y(t). Depois, calcule diretamente da expressão obtida d zd t;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ z(x, y) = x^{2}(y + y^{2}) + y^{2} $ e duas funções que definem $ x $ e $ y $ em termos de $ t $: $ x(t) = t^{-1} $ e $ y(t) = 2t^{2} $. Nosso objetivo é primeiro compor a função $ z $ com $ x(t) $ e $ y(t) $, ou seja, encontrar $ z(t) = z(x(t), y(t)) $. Depois, vamos calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $, $ \frac{dz}{dt} $, diretamente a partir dessa expressão.

Passo 2

Vamos substituir $ x(t) $ e $ y(t) $ na expressão de $ z(x, y) $. Isso significa que onde vemos $ x $, colocamos $ t^{-1} $ e onde vemos $ y $, colocamos $ 2t^{2} $. Ficando assim:
x(t)
Substituindo:
y(t)

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. Calcular $ (t{-1}){2} $:
(t^-1)^2
  1. Calcular $ (2t{2}){2} $:
(t^-1)^2 = t^-2 = 1t^2
Substituindo na expressão de $ z(t) $:
(2t^2)^2
Agora, vamos multiplicar dentro dos parênteses:
(2t^2)^2 = 4t^4
Então:
z(t)
Simplificando $ \frac{1}{t^{2}} \cdot 2t^{2} $:
z(t) = 1t^2 cdot (2t^2 + 4t^4) + 4t^4
Portanto:
2t^2 + 4t^4 = 2t^2(1 + 2t^2)

Passo 4

Agora que temos $ z(t) = 2 + 4t^{2} + 4t^{4} $, vamos calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $, $ \frac{dz}{dt} $.
Para derivar cada termo:
  1. A derivada de uma constante é zero:
z(t) = 2 + 4t^2 + 4t^4
  1. Para $ 4t^{2} $, aplicamos a regra da potência:
z
  1. Para $ 4t^{4} $:
t
Somando as derivadas:
dzdt

Resposta

dzdt = 8t + 16t^3

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