Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x}}^{\sqrt{9-x}} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y}} z \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral tripla
\int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} z\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dz\,dy\,dx.
Observações e informações extraídas do enunciado:
  • O integrando é z\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • As variáveis estão nos intervalos (pegos do enunciado corrigido para consistência):
    • x varia de -3 a 3.
    • Para cada x, y varia de -\sqrt{9-x^{2}} a \sqrt{9-x^{2}}.
    • Para cada (x,y), z varia de 0 a \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
  • O que se pede é calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Entender a região de integração em coordenadas cartesianas (isso ajuda a escolher os limites em esféricas).
  • A condição sobre x e y: -\sqrt{9-x^{2}}\le y\le \sqrt{9-x^{2}} implica x^{2}+y^{2}\le 9,ou seja, a projeção no plano xy é o disco de raio 3.
  • A condição sobre z: 0\le z\le \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} equivale a x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4,\qquad z\ge 0,ou seja, pontos dentro da esfera de raio 2 e com z não-negativo.
  • A intersecção das duas condições é, na prática, o semiespaço da esfera de raio 2 com z\ge0. Isso porque a projeção da esfera de raio 2 no plano xy é o disco de raio 2, que está contido no disco de raio 3. Logo a região efetiva de integração é a meia-esfera (hemisfério sólido) de raio 2 sobre o plano z=0: D=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4,\\ z\ge 0\}.

Passo 3

Introduzir coordenadas esféricas e explicar cada símbolo (pequena “aula” sobre isso).
  • Em coordenadas esféricas usamos \rho,\theta,\varphi com as definições: x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
    • \rho é a distância ao origem: \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, com \rho\ge 0.
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy: \theta\in[0,2\pi).
    • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo: \varphi\in[0,\pi].
  • Elemento de volume (Jacobiano): para um pequeno incremento (d\rho,d\varphi,d\theta) os comprimentos aproximados são d\rho, \rho\,d\varphi e \rho\sin\varphi\,d\theta. O volume do paralelepípedo é o produto desses comprimentos, portanto dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Esse é o fator de escala que sempre aparece ao mudar para esféricas.

Passo 4

Determinar os limites em esféricas a partir da descrição da região D.
  • Como D é a meia-esfera de raio 2 com z\ge0, os limites são: 0\le \rho\le 2,\qquad 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{2},\qquad 0\le \theta\le 2\pi.Explicando: \rho vai do centro até a superfície da esfera (raio 2); \varphi vai de 0 (eixo +z) até \pi/2 (plano z=0); \theta completa a volta no plano xy.

Passo 5

Transformar o integrando para esféricas, passo a passo.
  • Primeiro, note que \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho por definição.
  • Também z=\rho\cos\varphi.
  • Portanto o integrando original z\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} vira z\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=(\rho\cos\varphi)(\rho)=\rho^{2}\cos\varphi.
  • Multiplicando pelo Jacobiano dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, o integrando total em esféricas fica \rho^{2}\cos\varphi\cdot \rho^{2}\sin\varphi = \rho^{4}\cos\varphi\sin\varphi.

Passo 6

Escrever a integral em coordenadas esféricas com os limites achados.
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} \rho^{4}\cos\varphi\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Note que a integral separa em produto de integrais porque a função é produto de funções que dependem de variáveis distintas:
\left(\int_{0}^{2}\rho^{4}d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right).

Passo 7

Calcular cada integral simples e multiplicar os resultados.
  • Integral em \rho: \int_{0}^{2}\rho^{4}d\rho=\left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}.Explicando: a primitiva de \rho^{4} é \rho^{5}/5.
  • Integral em \varphi: pode-se usar u=\sin\varphi ou observar que \sin\varphi\cos\varphi=\tfrac{1}{2}\sin(2\varphi). Usando a primitiva direta, \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi=\left[\tfrac{1}{2}\sin^{2}\varphi\right]_{0}^{\pi/2}=\tfrac{1}{2}(1-0)=\tfrac{1}{2}.
  • Integral em \theta: \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
  • Multiplicando: \frac{32}{5}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \frac{32}{5}\pi.

Resposta

\dfrac{32\pi}{5}

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