Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado dá a integral tripla
Observações e informações extraídas do enunciado:
- O integrando é
. - As variáveis estão nos intervalos (pegos do enunciado corrigido para consistência):
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
-
- O que se pede é calcular o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Entender a região de integração em coordenadas cartesianas (isso ajuda a escolher os limites em esféricas).
- A condição sobre
e : implica ou seja, a projeção no plano é o disco de raio . - A condição sobre
: equivale a ou seja, pontos dentro da esfera de raio e com não-negativo. - A intersecção das duas condições é, na prática, o semiespaço da esfera de raio
com . Isso porque a projeção da esfera de raio no plano é o disco de raio , que está contido no disco de raio . Logo a região efetiva de integração é a meia-esfera (hemisfério sólido) de raio sobre o plano :
Passo 3
Introduzir coordenadas esféricas e explicar cada símbolo (pequena “aula” sobre isso).
- Em coordenadas esféricas usamos
com as definições: -
é a distância ao origem: , com . -
é o ângulo azimutal no plano : . -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo: .
-
- Elemento de volume (Jacobiano): para um pequeno incremento
os comprimentos aproximados são , e . O volume do paralelepípedo é o produto desses comprimentos, portanto Esse é o fator de escala que sempre aparece ao mudar para esféricas.
Passo 4
Determinar os limites em esféricas a partir da descrição da região
.
- Como
é a meia-esfera de raio com , os limites são: Explicando: vai do centro até a superfície da esfera (raio ); vai de (eixo ) até (plano ); completa a volta no plano .
Passo 5
Transformar o integrando para esféricas, passo a passo.
- Primeiro, note que
por definição. - Também
. - Portanto o integrando original
vira - Multiplicando pelo Jacobiano
, o integrando total em esféricas fica
Passo 6
Escrever a integral em coordenadas esféricas com os limites achados.
Note que a integral separa em produto de integrais porque a função é produto de funções que dependem de variáveis distintas:
Passo 7
Calcular cada integral simples e multiplicar os resultados.
- Integral em
: Explicando: a primitiva de é . - Integral em
: pode-se usar ou observar que . Usando a primitiva direta, - Integral em
: - Multiplicando: