Um circuito em série consiste em um resistor com R=20 \Omega, um indutor \operatorname{com} L=1 \mathrm{H}, um capacitor \operatorname{com} C=0,002 \mathrm{~F}, e uma pilha de 12 V . Se a carga inicial e a corrente forem 0 , encontre a carga e a corrente no instante t.
Here the initial-value problem for the charge is Q^{\prime \prime}+20 Q^{\prime}+500 Q=12, Q(0)=Q^{\prime}(0)=0. Then Q_{c}(t)=e^{-10 t}\left(c_{1} \cos 20 t+c_{2} \sin 20 t\right) and try Q_{p}(t)=A \quad \Rightarrow \quad 500 A=12 or A=\frac{3}{125}.
The general solution is Q(t)=e^{-10 t}\left(c_{1} \cos 20 t+c_{2} \sin 20 t\right)+\frac{3}{125}. But 0=Q(0)=c_{1}+\frac{3}{125} and Q^{\prime}(t)=I(t)=e^{-10 t}\left[\left(-10 c_{1}+20 c_{2}\right) \cos 20 t+\left(-10 c_{2}-20 c_{1}\right) \sin 20 t\right] but 0=Q^{\prime}(0)=-10 c_{1}+20 c_{2}. Thus the charge is Q(t)=-\frac{1}{250} e^{-10 t}(6 \cos 20 t+3 \sin 20 t)+\frac{3}{125} and the current is I(t)=e^{-10 t}\left(\frac{3}{5}\right) \sin 20 t.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Foi dada a equação diferencial com as condições iniciais (peguei isto do enunciado):
Q''+20Q'+500Q=12,\qquad Q(0)=0,\qquad Q'(0)=0.
  • O que se pede: encontrar a carga Q(t) para todo t\ge0 e a corrente I(t), lembrando que a corrente é a derivada da carga:
I(t)=Q'(t).

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
Q_h''+20Q_h'+500Q_h=0.
Para resolver uma equação linear com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma \,Q_h(t)=e^{rt}\,. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
r^2+20r+500=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática.

Passo 3

Calculamos as raízes da quadrática. O discriminante é
\Delta = 20^2-4\cdot1\cdot500 = 400-2000 = -1600,
ou seja, negativo. Assim as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-20\pm\sqrt{-1600}}{2} = -10\pm 20i.
Para raízes \alpha\pm \beta i a solução real geral da homogênea é
Q_h(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big).
Substituindo \alpha=-10 e \beta=20 obtemos
Q_c(t)=e^{-10t}\big(c_1\cos 20t + c_2\sin 20t\big).
(Estou chamando de Q_c a solução complementar/homogênea e usando constantes c_1,c_2.)

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular da equação não homogênea
Q''+20Q'+500Q=12.
Como o termo do lado direito é uma constante, uma tentativa natural é procurar uma solução particular constante Q_p(t)=A (constante real). Se Q_p(t)=A então Q_p'=0 e Q_p''=0. Substituindo na equação:
0+20\cdot 0 +500A = 12 \quad\Rightarrow\quad 500A=12.
Logo
A=\frac{12}{500}=\frac{3}{125}.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução complementar com a particular:
Q(t)=Q_c(t)+Q_p(t)=e^{-10t}\big(c_1\cos 20t + c_2\sin 20t\big)+\frac{3}{125}.

Passo 6

Impondo a condição inicial Q(0)=0. Avaliando Q(0):
Q(0)=e^{0}\big(c_1\cos 0 + c_2\sin 0\big)+\frac{3}{125}=c_1+\frac{3}{125}.
Da condição Q(0)=0 segue
c_1+\frac{3}{125}=0 \quad\Rightarrow\quad c_1=-\frac{3}{125}.

Passo 7

Agora precisamos de c_2. Para isso calculamos Q'(t) em forma geral (vai nos dar a corrente I(t)). Diferenciando
Q(t)=e^{-10t}\big(c_1\cos 20t + c_2\sin 20t\big)+\frac{3}{125},
usamos regra do produto e derivadas de seno/cosseno. Seja A(t)=c_1\cos 20t + c_2\sin 20t. Então
Q'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{-10t}A(t)\big)=e^{-10t}\big(A'(t)-10A(t)\big).
Calculamos A'(t):
A'(t)=-20c_1\sin 20t + 20c_2\cos 20t.
Substituindo em Q'(t) obtemos a expressão explícita
Q'(t)=e^{-10t}\Big[(20c_2-10c_1)\cos 20t +\big(-20c_1-10c_2\big)\sin 20t\Big].

Passo 8

Impondo a condição inicial Q'(0)=0. Avaliando a expressão em t=0:
Q'(0)=(20c_2-10c_1)\cdot\cos 0 +\big(-20c_1-10c_2\big)\cdot\sin 0 = 20c_2-10c_1.
Da condição Q'(0)=0 segue
20c_2-10c_1=0 \quad\Rightarrow\quad 20c_2=10c_1 \quad\Rightarrow\quad c_2=\frac{10}{20}c_1=\frac{1}{2}c_1.
Como já achamos c_1=-\dfrac{3}{125}, obtemos
c_2=\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{125}\right)=-\frac{3}{250}.

Passo 9

Substituindo c_1 e c_2 na solução geral, obtemos a carga Q(t). Substituições:
Q(t)=e^{-10t}\left(-\frac{3}{125}\cos 20t -\frac{3}{250}\sin 20t\right)+\frac{3}{125}.
Podemos fatorar -\dfrac{3}{250} se quisermos uma forma alternativa:
Q(t)=-\frac{3}{250}e^{-10t}\big(2\cos 20t + \sin 20t\big)+\frac{3}{125}.
Ambas as formas são equivalentes.

Passo 10

Agora obtemos a corrente I(t)=Q'(t). Podemos usar a expressão geral do Passo 7 e substituir c_1 e c_2. Relembrando
Q'(t)=e^{-10t}\Big[(20c_2-10c_1)\cos 20t +\big(-20c_1-10c_2\big)\sin 20t\Big].
Substituindo c_1=-\dfrac{3}{125} e c_2=-\dfrac{3}{250}:
20c_2-10c_1 = 20\left(-\frac{3}{250}\right)-10\left(-\frac{3}{125}\right) = -\frac{60}{250} + \frac{30}{125} = -\frac{6}{25} + \frac{6}{25}=0,
-20c_1-10c_2 = -20\left(-\frac{3}{125}\right)-10\left(-\frac{3}{250}\right) = \frac{60}{125} + \frac{30}{250} = \frac{12}{25} + \frac{3}{25}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}.
Portanto a expressão simplifica para
I(t)=Q'(t)=e^{-10t}\left(\frac{3}{5}\right)\sin 20t.
Verificação rápida dos valores iniciais: Q(0)=0 e I(0)=0 são satisfeitas porque \sin 0=0 e o termo exponencial em t=0 é 1.

Resposta

Q(t)=e^{-10t}\left(-\frac{3}{125}\cos 20t -\frac{3}{250}\sin 20t\right)+\frac{3}{125}
I(t)=Q'(t)=e^{-10t}\left(\frac{3}{5}\right)\sin 20t

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