Um circuito em série consiste em um resistor com
, um indutor
, um capacitor
, e uma pilha de 12 V . Se a carga inicial e a corrente forem 0 , encontre a carga e a corrente no instante
.
Here the initial-value problem for the charge is
. Then
and try
or
.
The general solution is
. But
and
but
. Thus the charge is
and the current is
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
- Foi dada a equação diferencial com as condições iniciais (peguei isto do enunciado):
- O que se pede: encontrar a carga
para todo e a corrente , lembrando que a corrente é a derivada da carga:
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
Para resolver uma equação linear com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
Agora resolvemos essa equação quadrática.
Passo 3
Calculamos as raízes da quadrática. O discriminante é
ou seja, negativo. Assim as raízes são complexas conjugadas:
Para raízes
a solução real geral da homogênea é
Substituindo
e
obtemos
(Estou chamando de
a solução complementar/homogênea e usando constantes
.)
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular da equação não homogênea
Como o termo do lado direito é uma constante, uma tentativa natural é procurar uma solução particular constante
(constante real). Se
então
e
. Substituindo na equação:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução complementar com a particular:
Passo 6
Impondo a condição inicial
. Avaliando
:
Da condição
segue
Passo 7
Agora precisamos de
. Para isso calculamos
em forma geral (vai nos dar a corrente
). Diferenciando
usamos regra do produto e derivadas de seno/cosseno. Seja
. Então
Calculamos
:
Substituindo em
obtemos a expressão explícita
Passo 8
Impondo a condição inicial
. Avaliando a expressão em
:
Da condição
segue
Como já achamos
, obtemos
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a carga
. Substituições:
Podemos fatorar
se quisermos uma forma alternativa:
Ambas as formas são equivalentes.
Passo 10
Agora obtemos a corrente
. Podemos usar a expressão geral do Passo 7 e substituir
e
. Relembrando
Substituindo
e
:
Portanto a expressão simplifica para
Verificação rápida dos valores iniciais:
e
são satisfeitas porque
e o termo exponencial em
é
.