mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+1)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede encontrar a transformada inversa de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{(s+1)^{2}}\right\}.
Informações dadas: a função no domínio de s é \dfrac{s}{(s+1)^{2}}. O objetivo é retornar uma função de t cuja transformada de Laplace seja essa expressão.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica antes de inverter. Note que podemos escrever s como (s+1)-1. Assim,
\frac{s}{(s+1)^{2}} = \frac{(s+1)-1}{(s+1)^{2}} = \frac{s+1}{(s+1)^{2}} - \frac{1}{(s+1)^{2}} = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 3

Agora lembramos duas transformadas básicas (vou explicar por que elas valem):
  • A transformada de Laplace de e^{at} é
\mathscr{L}\{e^{at}\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt=\frac{1}{s-a},
para \Re(s)>a. Aplicando com a=-1 obtemos
\mathscr{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}.
  • A transformada de Laplace de t e^{at} pode ser obtida avaliando a integral
\mathscr{L}\{t e^{at}\}=\int_{0}^{\infty} t e^{-(s-a)t}\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t e dv=e^{-(s-a)t}dt (e assumindo \Re(s)>a para convergência), encontra-se
\int_{0}^{\infty} t e^{-k t}\,dt=\frac{1}{k^{2}}\quad\text{com }k=s-a.
Portanto
\mathscr{L}\{t e^{at}\}=\frac{1}{(s-a)^{2}}.
Aplicando com a=-1 obtemos
\mathscr{L}\{t e^{-t}\}=\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 4

Usando linearidade da transformada inversa de Laplace (ela é linear, então invertemos termo a termo) e as correspondências acima:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}, \qquad \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\right\}=t e^{-t}.
Logo, aplicando a inversa na decomposição do Passo 2,
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{(s+1)^{2}}\right\} = \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\} - \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\right\} = e^{-t} - t e^{-t}.

Passo 5

Colocando em forma factorizada para ficar mais limpo:
e^{-t}-t e^{-t}=(1-t)\,e^{-t}.
Lembrete prático para a prova: quando aparecer \dfrac{1}{(s-a)^{n+1}} lembre que corresponde a \dfrac{t^{n}}{n!}e^{at}; no caso n=1 t e^{at}. E uma técnica rápida é sempre tentar decompor o numerador para chegar a somas de termos do tipo \dfrac{1}{s+1} ou \dfrac{1}{(s+1)^{2}}.

Resposta

(1 - t)\,e^{-t}

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