Passo 1
O enunciado pede encontrar a transformada inversa de Laplace
Informações dadas: a função no domínio de
é
. O objetivo é retornar uma função de
cuja transformada de Laplace seja essa expressão.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica antes de inverter. Note que podemos escrever
como
. Assim,
Passo 3
Agora lembramos duas transformadas básicas (vou explicar por que elas valem):
- A transformada de Laplace de
é
para
. Aplicando com
obtemos
- A transformada de Laplace de
pode ser obtida avaliando a integral
Fazendo integração por partes com
e
(e assumindo
para convergência), encontra-se
Portanto
Aplicando com
obtemos
Passo 4
Usando linearidade da transformada inversa de Laplace (ela é linear, então invertemos termo a termo) e as correspondências acima:
Logo, aplicando a inversa na decomposição do Passo 2,
Passo 5
Colocando em forma factorizada para ficar mais limpo:
Lembrete prático para a prova: quando aparecer
lembre que corresponde a
; no caso
dá
. E uma técnica rápida é sempre tentar decompor o numerador para chegar a somas de termos do tipo
ou
.